3.1 多项式的因式分解(1)正版

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1、多项式的因式分解本课内容本节内容3.11.21等于3乘哪个整数？说一说21=3×72.x2-1等于x+1乘哪个多项式？因为(x+1)(x-1)=x2-1,所以x2-1=(x+1)(x-1).对于整数21与3，有整数7使得21=3×7，我们把3叫做21的一个因数类似地，对于多项式x2-1与x+1，有整式的乘法有多项式x-1使得x2-1=(x+1)(x-1)成立，我们把多项式x+1叫做x2-1的一个因式.同理，7也是21的一个因数．同理，x-1也是x2-1的一个因式.议一议：你能尝试把化成几个整式的乘积的形式

2、吗？与同伴交流一下吧！=a(a+1)(a-1)一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f=gh，那么我们把g叫做f的一个因式.此时，h也是f的一个因式.把x2-1写成(x+1)(x-1)的形式叫做把这个多项式因式分解.一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.x2-1=(x+1)(x-1)想一想:分解因式与整式乘法有什么关系?二者是互逆的过程为什么要把一个多项式因式分解呢？每一个大于1的正整数都能表示成若干个素（质）数①的乘积的形式．例如12=2×2×3，①30

3、=2×3×5.②有了①式和②式，就容易求出12和30的最大公因数为2×3=6，进而很容易把分数约分：分子与分母同除以6，得12=2×2×3，①30=2×3×5.②同样地，每一个多项式可以表示成若干个最基本的多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁．例如，以后我们要学习的分式的约分，解一元二次方程等，常常需要把多项式进行因式分解.1.求4，6，14的最大公因数.答：因为4=2×26=2×314=2×7练习所以最大公因数是2.举例例1下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1

4、）a2+2ab+b2=(a+b)2；（2）m2+m-4=(m+3)(m-2)+2.解是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了多项式a+b与a+b的积的形式.（1）a2+2ab+b2=(a+b)2（2）m2+m-4=(m+3)(m-2)+2.解不是.因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积的形式.2.下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）(x+1)(x+2)=x2+3x+2；（2）2x2y+4xy2=2xy(x+2y)；答：是因式分解.（3）x2-2=(x

5、+1)(x-1)-1；（4）4a2-4a+1=(2a-1)2.答：是因式分解.解不是.解不是.1因为x2+3x+2不是几个多项式乘积的形式.因为(x+1)(x-1)-1不是几个多项式乘积的形式.练习例2检验下列因式分解是否正确.（1）x2+xy=x(x+y)；（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)；（3）2m2-n2=(2m-n)(2m+n).分析检验因式分解是否正确，只要看等式右边的几个多项式的乘积与左边的多项式是否相等.解因为(a-2)(a-3)=a2-5a+6，所以因式分解a2-5a+6=(a-

6、2)(a-3)正确.（1）x2+xy=x(x+y)解因为x(x+y)=x2+xy，所以因式分解x2+xy=x(x+y)正确.（2）a2-5a+6=(a-2)(a-3)（3）2m2-n2=(2m-n)(2m+n).解因为(2m-n)(2m+n)=4m2-n2≠2m2-n2，所以因式分解2m2-n2=(2m-n)(2m+n)不正确.3.检验下列因式分解是否正确.（1）-2a2+4a=-2a(a+2)；（2）x3+x2+x=x(x2+x)；解因为-2a(a+2)=-4a2-4a≠-2a2+4a，所以因式分解-2

7、a2+4a=-2a(a+2)不正确.（3）m2+3m+2=(m+1)(m+2).解因为x(x2+x)=x3+x2≠x3+x2+x，所以因式分解x3+x2+x=x(x2+x)不正确.解因为(m+1)(m+2)=m2+3m+2，所以因式分解m2+3m+2=(m+1)(m+2)正确.练习结束