2009年温州中学夏令营选拔测试数学试卷

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1、2009年温州中学夏令营选拔测试数学试卷(测试时间：2小时试卷总分：150分)一、选择题：（每小题6分，共36分）1、设P＝，Q＝，则P与Q的大小关系是（　）A、P＞Q　B、P＝Q　　　　C、P＜Q　　　　　D、不能确定2、已知实数a、b、c满足，则代数式ab+ac的值是()A、B、C、D、3、如图，在钝角△ABC中，BC=1，∠A=30°，D为边BC的中点，G为△ABC的重心。若B、C为定点，当点A运动时，线段GD长度的取值范围是()A、0

2、2，另两条边长均为整数，则符合这样条件的直角三角形共有()个。A、1B、6C、4D、无数多5、若实数x，y满足条件，则的最大值是（　　）A、14　　　　　B、15　　　C、16　　　　D、不能确定6、从1,2,…,13中取出个不同的数，使这个数中任两个数之差既不等于5，也不等于8。则的最大值为()A、5B、6C、7D、8二、填空题：（每小题6分，共36分）7、实数a,b,c满足,则a+b+c=；8、若整系数一元二次方程有一正根和一负根，且，则=。9、在△ABC中，∠A＝，sinB＝，则cosC＝．10、已知n个数x1，x

3、2，x3，…，xn，它们每一个数只能取0，1，－2这三个数中的一个，且，则;11、在四位正整数中，a，b，c，d都不为零，且、都是完全平方数，则满足上述条件的最大的四位正整数是；12、如图所示的四边形ABCD是一片沙漠地的示意图，点A、B在x轴上，E(2,6)、F(3,4)。折线OFE是流过这片沙漠的水渠，水渠东边的沙漠由甲承包绿化，水渠西边的沙漠由乙承包绿化。现甲乙两人协商：在绿化规划中需将流经沙漠中的水渠取直，并且要保持甲乙两人所承包的沙漠地的面积不变。若准备在AB上找一点P，使得水渠取直为EP，则点P的坐标为。三、

4、解答题：（共78分）13、(本小题18分)设关于未知数x的方程x2―5x―m2＋1＝0的实根为α、β，试确定实数m的取值范围，使

5、α

6、＋

7、β

8、≤6成立．14、(本小题20分)如图，在直角坐标系xOy中，已知A（12,0），B（0,9），C（3,0），D（0,4），Q为线段AB上一动点，OQ与过O、C、D三点的圆交于点P。问OP·OQ的值是否变化？证明你的结论。15、(本小题20分)已知二次函数的图象与轴的交点分别为A、B，与轴的交点为C。设△ABC的外接圆的圆心为点P。（1）证明：⊙P与轴的另一个交点为定点。（2）如果A

9、B恰好为⊙P的直径且，求和的值。16、(本小题20分)在8×8的棋盘中，规定每个方格中至多放入一个棋子。如果x、y、z为三个形成斜对角排列的连续方格，方格x、y内都放置有棋子，而方格z内为空的，则我们称方格y内的棋子为“可被吃掉”的棋子。请问在此棋盘中至多可以同时放入多少个棋子，使得所放入的每个棋子都为“可被吃掉”的棋子?2009年温州中学夏令营选拔测试数学试卷参考答案一、选择题：1、A2、A3、B4、C5、B6、B二、填空题：7、8、9、10、11、784112、(，0)三、解答题：13、解：∵△∴不论m取何值，所给的

10、方程都有两个不相等的实根.∵,∴,即.∴当时，成立，∴.（1）当时，得，∴.（2）由（1）、（2）得.14、解：点Q在线段AB上运动的过程中，OP·OQ的值是不变的。证明如下：连结DC、PC∵　，∠COD＝∠BOA＝Rt∠∴　△COD∽△BOA∴　∠1＝∠A∵　O、C、P、D四点共圆　　　∴　∠1＝∠2∴　∠2＝∠A∵　∠POC＝∠AOQ∴　△POC∽△AOQ∵　　　∴　OP·OQ＝OC·OA＝3615、解:（1）易求得点的坐标为，设，，则，.设⊙P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是⊙P的两条相交弦，它们的交点为点O

11、，所以OA×OB＝OC×OD，则.因为，所以点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D为定点，它的坐标为(0,1).（2）因为AB⊥CD，如果AB恰好为⊙P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即.又，所以，解得.16、解：在8×8的棋盘中，棋子“不可被吃掉”的充要条件为：（1）这个棋子放在棋盘周边的格子中；（2）这个棋子放置两斜向垂直相交的三连子的中央；（3）这个棋子为孤立棋子，即周围四角都没有放棋子。从而，（1）棋盘周围的28个方格子不能放任何棋子；（2）居中的6×6=36格中，每个“九宫格”都至少有

12、一个方格不能放入任何棋子，且这个方格应该位于九宫格的角落的位置，在这6×6=36格中，至少有4个格子不能放入任何棋子。所以，至多可以同时放入8×8-28-4=32个棋子，使得所放入的棋子都为“可被吃掉”的棋子。（同时要给出一种可行的排法）