1.3.3《算法案例——进位制》（新人教a版必修3）

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1、主讲老师潘学国算法初步1.3算法案例提出问题人们为了计数和运算方便，约定了各种进位制，这些进位制是什么概念，它们与十进制之间是怎样转化的？对此，我们从理论上作些了解和研究.进位制进位制是人们为了计数和运算方便而约定的记数系统，如满二进一，就是二进制；满十进一，就是十进制；每七天为一周，就是七进制；每十二个月为一年，就是十二进制，每六十秒为一分钟，每六十分钟为一个小时，就是六十进制；等等。一般地，“满几进一”就是几进制，几进制的基数就是几。进位制基数都是大于1的整数。思考：基数的范围是什么？二进制可使用的数字有0和1，基数是2；八

2、进制可使用的数字有0~7，基数是8；十六进制可使用的数字或符号有0~9等10个数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应10~15)，十六进制的基数是16.等等。思考：十进制使用0～9十个数字，那么其它进制分别使用哪些数字？计数时，几个数字排成一行，从右起，位数依次增大。注意：为了区分不同的进位制,常在数字的右下角标明基数.如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数.十进制数一般不标注基数.思考：k进制如何计数？思考：一般地，若k是一个大于1的整数，则以k为基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起的形式：ana

3、n-1…a1a0(k).其中各个数位上的数字an，an-1，…，a1，a0的取值范围如何？an，an-1，…，a1，a0ϵN，0

4、各位上数字与k的幂的乘积之和的形式？anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0探究：二进制只用0和1两个数字，这正好与电路的通和断两种状态相对应，因此计算机内部都使用二进制。计算机在进行数的运算时，先把接收到的数转化为二进制数进行运算，再把运算结果转化为十进制数输出。十进制数与其它进位制数是怎样转化的呢？下面，我们用例子来说明。例1：把二进制数110011（2）化为十进制数。110011（2）=1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20=32+16+2+1=51.练习

5、：将下列各进制数化为十进制数.（1）10303（4）；（2）1234（5）；（3）C7A16(16)10303（4）=1×44+3×42+3×40=307.1234（5）=1×53+2×52+3×51+4×50=194.C7A16(16)=12×164+7×163+10×162+1×161+6×160=817686.第四步，判断i>n是否成立.若是，则输出b的值；否则，返回第三步.第一步，输入a，k和n的值；第二步，令b=0，i=1；思考：如何改进上述算法，把k进制数anan-1…a1a0(k)化为十进制数？第三步，b=b+ai

6、*ki-1，i=i+1；例2：设计一个算法，把k进制数a（共有n位）化为十进制数b？开始输入a，k，nb=0i=1把a的右数第i位数字赋给tb=b+t·ki-1i=i+1i>n?结束是输出b否程序框图：程序：INPUTa，k，nb=0i=1t=aMOD10DOb=b+t*k∧（i-1）a=a10t=aMOD10i=i+1LOOPUNTILi>nPRINTbEND例3：已知10b1（2）=a02（3），求数字a，b的值.所以2b+9=9a+2，即9a-2b=7.10b1（2）=1×23+b×2+1=2b+9.a02（3）=a×3

7、2+2=9a+2.故a=1，b=1.利用k进制数化十进制数的一般算式，可以构造算法，设计程序，通过计算机就能把任何一个k进制数化为十进制数。在实际应用中，我们还需要把任意一个十进制数化为k进制数的算法，对此，我们作些理论上的探讨。例4：把89化为二进制的数.分析：把89化为二进制的数，需想办法将89先写成如下形式。89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20.89=64+16+8+1=1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).如果数太大，我们是无法这样凑出来的

8、，怎么办?89=44×2+1,44=22×2+0,22=11×2+0,11=5×2+1,5=2×2+1,可以用2连续去除89或所得商(一直到商为0为止)，然后取余数------除2取余法.2=1×2+0,1=0×2+1.89=44×2+1,=(22×2+0)×2