《3.4 变化率与导数》同步练习

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1、《3.4变化率与导数》同步练习基础巩固强化一、选择题1．y＝ax2＋1的图像与直线y＝x相切，则a＝(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D．1[答案]　B[解析]　y′＝2ax，设切点为(x0，y0)，则2ax0＝1，∴x0＝，∴y0＝，代入y＝ax2＋1得，＝＋1，∴a＝，故选B.2．(2014·山师附中高二期中)设f(x)＝sinx－cosx，则f(x)在x＝处的导数f′()＝(　　)A.B．－C．0D.[答案]　A[解析]　∵f′(x)＝cosx＋sinx，∴f′()＝cos＋sin＝，故选A.3．函数y＝的导数是(　　)A．－

2、B．－sinxC．－D．－[答案]　C[解析]　y′＝′＝＝.4．(2014·辽宁六校联考)设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数y＝f′(x)是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线斜率为，则切点的横坐标为(　　)A.B．－C．ln2D．－ln2[答案]　C[解析]　f′(x)＝ex－ae－x，由f′(x)为奇函数，得f′(x)＝－f′(－x)，即(a－1)(ex＋e－x)＝0恒成立，∴a＝1，∴f(x)＝ex＋e－x，设切点的横坐标为x0，由导数的几何意义有ex0－e－x0＝，解得x0＝ln2，故选C.5．(2014·山西六

3、校联考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)(　　)A．e－1B．－1C．－e－1D．－e[答案]　C[解析]　∵f(x)＝2xf′(e)＋lnx，∴f′(x)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.6．(2014·泸州市一诊)若曲线f(x)＝x－在点(a，f(a))处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝(　　)A．64B．32C．16D．8[答案]　A[解析]　∵f′(x)＝－x－，∴f′(a)＝－a－，∴切线方程为y－a－＝－a－

4、(x－a)．令x＝0得y＝a－，令y＝0得x＝3a，由条件知·a－·3a＝18，∴a＝64.二、填空题7．已知函数y＝f(x)的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)＝________.[答案]　3[解析]　∵已知切点在切线上，∴f(1)＝＋2＝，又函数在切点处的导数为切线斜率，∴f′(1)＝，∴f(1)＋f′(1)＝3.8．等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________.[答案]　212[解析]　f′(x)＝x′·[(x

5、－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)…(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.9．(2014·福建省闽侯二中、永泰二中、连江侨中、长乐二中联考)曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线方程为________．[答

6、案]　2x－y＋1＝0[解析]　∵点(1，3)在曲线y＝x3－x＋3上，y′＝3x2－1，∴曲线y＝x3－x＋3在点(1，3)处的切线的斜率为y′

7、x＝1＝(3x2－1)

8、x＝1＝2，∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.三、解答题10．函数f(x)＝x3－x2－x＋1的图像上有两点A(0，1)和B(1，0)，在区间(0，1)内求实数a，使得函数f(x)的图像在x＝a处的切线平行于直线AB.[来源:Z+xx+k.Com][答案]　[解析]　直线AB的斜率kAB＝－1，f′(x)＝3x2－2x－1，令f′(a)＝－1　(0

9、

10、x＝4＝(exsinx＋excosx)

11、x＝4＝e4(sin4＋cos4)＝e4sin(4＋)<0，故倾斜角为钝角，选C.12．曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　对函数y＝x3＋x求导得y′＝x2＋1，将x＝1代入得曲线y＝x3＋x在点(1，)处的切

12、线斜率为k＝2，故切线方程是y－＝2(x－1)，该切线与坐标轴的交点是(，0)，(0，－)，故围成的三角形面积为，故选A.13．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为(　　)A．－B.C．－D.[答案]