【素材】《勾股定理的逆定理》应用举例（人教版）

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1、勾股定理的逆定理应用举例如果一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理．它在数学中的应用非常广泛．下面举例说明勾股定理的逆定理在解题中的应用．一、判断三角形的形状例1已知△ABC的三边分别长为、、，且满足＋+＝0，则△ABC是（）．A．以为斜边的直角三角形B．以为斜边的直角三角形C．以为斜边的直角三角形　D．不是直角三角形分析：把变形为，则、、都为非负数，而它们的和为０，根据非负数的性质可知，这三个非负数都是0，于是我们可求出、、的值．然后再根据勾股定理的逆定理判断三角形是否为

2、直角三角形，若是直角三角形，最后再确定斜边．解：根据题意，得＋＋＝0，所以＝17，＝15，＝8，．所以．根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且斜边长是．故答案选A．二、求角的度数例2已知在△ABC中，AB=，AC=，BC=1，求∠A．分析：题目中的条件只告诉了我们三条边的长，并且三条边各不相等，因此可以考虑利用勾股定理的逆定理先判断三角形的形状，然后再确定∠A的度数．解：因为，，所以．因此根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且BC边是斜边．所以∠A＝90°．点评：若题目条件中，已知三角形的三边长，同学们就应该有利

3、用勾股定理的逆定理来判断三角形形状的意识，判断两条较小边的和是否等于最大边的平方．3/3三、证两线垂直DC图1BAE例3如图1，在△ABC中，D为BC的中点，AB=5，AD=6，AC=13，试判断AD与AB的位置关系．分析：条件中所给的三条线段不是同一个三角形的三边，注意到5，12，13恰为一组勾股数，因此可考虑倍长中线AD到一点E，连接CE，将已知条件转化到同一个三角形中，利用勾股定理的逆定理说明构造的三角形是直角三角形，进而判断出AD与AB的位置关系．解：延长AD到一点E，使DE=AD，则AE=2AD=12，连接CE．因为AD是BC

4、边上的中线，所以CD=BD．又因为AD=DE，∠ADB=∠EDC，所以△ABD≌△ECD．所以CE=AB=5，∠E=∠DAB．在△ACE中，因为，，所以．根据勾股定理的逆定理，可知△ACE是直角三角形，且AC是斜边，所以∠E=90°．于是可得∠DAB=90°，所以AD⊥AB，即AD与AB是垂直关系．点评：运用勾股定理的逆定理证明两直线垂直是常用的方法之一．如果条件中给出较多的线段长时，同学们应该有运用勾股定理的逆定理判断两线垂直的意识．四、求线段的长B图２CDA例4如图2所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=15，AD=12

5、，AC=13，BD=9，求BC的长．分析：根据已知条件无法直接求出BC的长．因此可尝试利用勾股定理的逆定理先找出图形中的直角三角形，然后再考虑利用勾股定理求出线段的长．解：因为，，所以．根据勾股定理的逆定理，可知△ABD是直角三角形．故△ADC也是直角三角形．在Rt△ADC中，根据勾股定理，得，所以CD=5．故BC=BD+CD=14．五、求面积3/3例5在如图3所示的图形中，AB=12，BC＝13，CD=4，AD＝3，AD⊥CD，求这个图形的面积．BCD图3A分析：题目中的图形是不规则的，因此不能直接求出它的面积．根据已知条件，若连接A

6、C，则△ACD是直角三角形，所求的图形面积可转化为求△ABC的面积与△ACD面积的差．其中Rt△ACD的面积易求得，于是只要求出△ABC的面积即可，根据勾股定理的逆定理可说明△ABC也是直角三角形，因此这个图形的面积就易求得．解：连接AC，则得Rt△ADC．在Rt△ADC中，根据勾股定理，得．所以AC＝5．在△ABC中，因为，，所以．根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形．故所求的图形面积＝△ABC面积－△ADC的面积=．3/3