中学数学研究-讯140310数学三个世界理论指导下的函数单调性概念教学的实践

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1、资料编号16013函数三个世界单调性高巧萍发表在讯140310上属于教法、类型、概念题为《数学三个世界理论指导下的函数单调性概念教学的实践》2006年国际数学教育心理学大会(PME)承认，建构主义的影响正在消退，潜力已不再突出.2004年英国Warwick大学教授DavidTall以建构主义为基础，结合当代认知科学、新皮亚杰主义等相关研究成果提出了数学三个世界理论，该理论主要以中学生和大学生为研究对象，重新划分了认知层次，更加合理地解释了人的认知发展过程，代表了当今认知理论研究的新成果.本文旨在以此理论为指导，以函数单调性概念为例进行教学实践，展示认知发展的新视角，以此创新教学理论、模式

2、，并期待同仁的检验、修正.1数学三个世界理论的基础及结构1.1理论基础数学三个世界理论与认知主义、建构主义一脉相承，同时吸收了新皮亚杰主义、认知科学等其它相关研究成果而形成.首先，数学三个世界理论借鉴了认知主义表征概念的方式:人们通过对现实对象的操作，提取对象性质，逐步上升到现象表征，再利用语言抽象出符号，最后通过严谨的定义和推理形成形式化的公理理论.另外，数学三个世界理论还融人了杜宾斯基(Dubinsky)的APOS建构主义学习理论，将认知建构分为活动、过程、对象、图式四个阶段.新皮亚杰主义下的SOLO分类理论，将认知划分为感知、形象、符号化、形式化、后形式化五个阶段，把认知看成是—个

3、累积的过程也在此理论中得到认同.数学三个世界理论受上述观点启发，认为认知发展阶段具有建构性、阶段性、累积性同时还接受了认知科学中联结与脑功能的观点,认为人具有使用语言和模式识别的能力，因而有能力处理外部信息，并随着抽象程度的加深而逐渐产生符号.1.2理论结构(1)具体化世界：以对世界的感知为基础，通过感知和行动发挥想象并利用语言加以描述，得出一些结论，使数学学习的对象具体、形象、可见.(2)符号化世界：以对过程的操作及对行动的反思为基础，通过符号的使用简化数学思维,数学学习的对象既是对过程的执行也是对概念的思考.(3)形式化世界：以对具体化和符号化世界的反思为基础，抽取认识对象的本质属性

4、，通过高度抽象，转换到纯粹的逻辑形式上，利用形式化理论定义数学概念，形成数学的公理体系.2数学三个世界理论指导下的教学观数学三个世界理论认为知识间是相互联结的，因此主张运用联结主义教学模式.此模式提倡学生在已有的经验基础上大胆作出概念的假设，再积极主动地通过操作、行动、反思对知识进行建构.教师在课堂上充当组织者、辅导者的角色,合理给出知识和思维的联结点,刺激学生建立知识间的联结，设置一系列挑战性问题，推进学生深人探索.Tall曾就“讲授法”、“联结主义教学法”、“发现教学法”三种不同的教学方法进行一段时间的调査、研究，所得数据显示主张采用联结主义教学模式的老师教学效果最明显.因此，教师教

5、学时要作为辅导者帮助学生将知识压缩、抽象、适度形式化，并促使他们建立知识间的联结.该模式:按照输人信息、激活联结、建立联结、提取和检索信息顺序进行教学.3数学三个世界理论指导下的教学实践——以函数的单调性教学为例进人高中后学生第一个接触到的完全形式化的抽象定义就是函数的单调性,而高一学生的思维仍处于经验型逻辑思维发展阶段，对这一知识点的学习有很大难度.为了表面意义上的惜时惜力,或单纯从应试教育的角度出发，大部分中学教师不愿意花多少时间在概念的形成上，普遍以讲解为主,即使有启发,也缺乏学生思维的主动参与，特别是概念的抽象、符号化、形式化的过程，学生鲜有亲身体会，往往停留于记住定义和模仿式运

6、用.下面拟用数学三个世界理论指导本课题的教学实践.3.1对函数单调性教学内容的认识单调性是函数的一个重要的性质，它决定了函数图象的形状及变化.初中,学生已接触过一些简单的初等函数，能从直观上感性认识函数的图象上升、下降等变化趋势，容易引起共鸣.就学习经历而言，学生认识函数单调性大致分为四个阶段：第1阶段，具体感知阶段(小学阶段)，能体会量与量之间具体的变化联系，知道一些实际情境，如“随着我的个子增高，我的裤子的尺码越来越大”、“一天中太阳随着时间先升高再降落”等等.第2阶段,形象描述阶段(初中阶段),能用语言“随着的增大而增大(减小)”描述函数图象的变化趋势.第3阶段,抽象概括阶段(高中

7、必修阶段）,能脱离具体情境对概念进行抽象、概括，能用符号表示，并能给出形式化的定义.第4阶段,认识提升阶段(高中选修阶段)，能认识到导数与单调性之间的联系，如极值问题.另外，教师也要了解到:在大学里，还有有关单调性的进一步延伸学习，比如凹凸性问题等.基于上述认识，可以看出：学生对于单调性的认识是呈螺旋上升式的，是从特殊到一般、从直观到抽象、从感性到理性不断积累的过程.‘Tall认为，人的认知过程是以“前集”与“前变量”为基础经数学三