中学数学研究-苏1403622013年高考江苏卷第17题的研究与反思

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1、资料编号1559513江苏直线和圆的方程沙纪忠发表在苏140362上属于高考、考试、探究题为《2013年高考江苏卷第17题的研究与反思》综合度，不是通过简单的模仿就可以正确解答的，需要学生具备一定的解析几何的思想.因此本题就具备了既保证一般学生可以得分，乂体现了对优秀学生的选拔功能.注重基础的同时，又考查了学生的能力，区分度很好.此外，本题的精彩之处，不仅在于问题的设置上，更精彩的是第（2)问中，先是把几何条件代数化，得出了点所在的另一曲线的方程，通过方程判定隐藏曲线为圆后，又用几何法来解决两圆的位置关系问题.在解析几何的思想引领下，这样一来一去，无需复杂计算，问题便解决了，充分体现了数学中转

2、化思想在解题中的指挥全局的作用.1.4课本探源此试题源于课本却高于课本.它在课本中的“影子”如下：位置关系为相交或相切（内切、外切），但是原点与两圆圆心不共线，得出两圆相交.2教学启示2.1只有教师的理解深刻，学生的理解才可能深刻新课标下的数学教学，教师普遍反映内容太多，课时太紧，仿佛整个高中的教学一直都是马不停蹄地和时间赛跑.其实，我们教师要反思的一个问题是：我们到底要教给学生哪些东西？我们有没有抓住重点和关键？我们教给学生的东西是精炼的吗？要回答好这些问题，我们教师一定要自己先理解好数学，只有不断深入地理解数学，把握本质，认识清楚重点难点，教学才会游刃有余，从容不迫.(1)解析几何的本质是

3、什么？自从笛卡尔发明了直角坐标系，点和坐标形成了一一对应的关系，进而曲线和方程也形成了一一对应的关系.解析几何的本质就是用代数的方法研究几何.解析几何的研究对象依然是几何图形，只不过是我们不再单纯地根据图形研究图形，我们借助了方程这一代数的方法.我们要欣赏这一方法，比如题目中涉及的阿波罗尼斯圆，根据直观我们是很难想象一个动点到两个定点距离之比是一个不等于1的常数时，动点的轨迹竟然是圆.然而，借助解析法辨认方程的形式，就不难理解了.(2)对“解析几何中的点”的认识既然解析几何的研究对象是几何问题，那么我们就需要准确理解它的基本元素——解析几何中的点.笛卡尔发明坐标系，用坐标表示了点，如果仅是单纯

4、地把一个点用坐标表示出来那就没有多大意义了，我们还要认识到一个动点的横纵坐标所满足的关系式（即方程）可以表示动点所形成的轨迹.这就是我们解析几何中一类常见的问题，即求曲线的方程.仅有此认识还不够，我们联系地看问题：点动成线，反之，两曲线相交又可以得到点.在解析几何中，联立两支曲线所对应的方程，得到的方程组的解就是两曲线交点的坐标.我们的课本中讲“直线的交点”、“直线与直线的位置关系”、“圆与圆的位置关系”以及“曲线的交点”等章节中都举了大量的例子.教师要把这些例子都串在一起，形成对点的系统认识.(3)对解析几何中的难点的认识通常我们认为解析几何的难点是运算，其实运算只是一个方面，解析几何还有一

5、个难点在于能否灵活地运用数形结合的方法来解决问题.解析的方法研究几何，使得几何中的很多问题的解决有了统一性.可以使几何研究史'精确，推动广几何的发展.解析几何具有代数和儿何两重性.在做解析几何的题目时.我们应该辩证地看待代数法.有的问题用几何法来解决可以更快捷更简便.有的问题用代数法来解决更好.因此.解析几何的难点足.什么时候该用几何法，什么时候该用代数法.也就足我们要灵活地运用数形结合的方法来解决问题，不能够一味地偏向代数法，或偏向几何法.对于此次高考试题而言，学生一开始没有想到由点M满足几何关系MA=2MO去求其轨迹，而由点M在圆C上设了点M的坐标，也是可以理解的，但是这说明学生并没有突破

6、解析几何的难点，太偏重代数了.而没有做到灵活地运用数形结合的方法.2.2只有运用得力的教学策略，学生能力才可以提升(1)教学要紧扣课本，围绕课本进行问题展开无论是在上新授课还是复习课，教师必须要引导学生充分地重视课本，研究课本.只有从课本出发，学生的思维才会有起点和支撑点.有的教师无论是上新课还是复习课，都是在讲题目，都在让学生练习题目.我们要清楚，学数学并不等于做题，而应该是在研究数学问题.问题有以具体题目给出的问题，还有笼统的问题，比如课本上说解析几何研究两类问题：（1>如何建立曲线的方程？（2)如何通过方程来研究曲线的性质？这些问题不是像一道题目那样可以给出具体的答案，但是它却让人深思，

7、不断带领学生走向理解的深处.问题还可以是根据已有的研究，自然地追问.比如，在解析几何课本中我们研究了平面内一个动点到两个定点距离之和等于一个常数的点的轨迹，一个动点到两个定点距离之差的点的轨迹，我们自然地还要问：平面内，一个动点到两个定点距离之积（或者之商）等于一个常数的点的轨迹是什么呢？这些都是很好的问题.对于考试卷的题目，教师在讲解时，最好在课本里找找原型，给学生讲讲这些考题和课本之间的联系.