中学数学研究-陕081005对三角函数概念的思考

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1、资料编号14452三角函数王尚志发表在陕081005上属于教法、类型、概念摘要题为《对三角函数概念的思考》在数学学习中，如何理解重要的数学概念是非常重要的学习环节，我们以对三角函数概念的理解为例，提供了理解数学概念的思路.1影响三角函数概念的因素分析理解每一个数学概念，都要考虑影响这个概念的因素，以下是影响三角函数概念的因素的参考框图：针对框图中影响三角函数概念的主要因素我们作一个说明.1.1函数思想在高中数学课程中，有关“三角”的内容和定位已经发生了很大变化.在上个世纪60年代前后，高中数学课程中的“三角”内容主要讨论“三角形的边角关系”——“三角学”，三角函数是反映边角关系的固定比值，把它

2、作为研究边角关系的重要工具，对“三角函数”的认识是静态的.随着课程的不断改进和发展，课程内容发生了很大变化，有关“三角函数”的内容变成了以函数为主线，把“三角函数”作为重要的基本初等函数，研究周期现象的基本模型，这已经成为高中数学课程的主要内容.20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学.克莱因提出了一个重要的思想——函数的概念与思想统一的数学教育.他认为“函数概念，应该成为数学教育的灵魂.以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分的综合三角函数”在高中数学课程中的定位和变化，反映了克莱因提出的这个思想的重要性.在中小学数学课程中，强调

3、函数的思想，不仅表现在有关“三角函数”内容和定位的变化，还表现在许多其他地方(参看文献[1]、[2]、[3]).周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象，大到宇宙的运动，小到粒子的变化，这些现象的共同特点是具有周期性.另外，如潮汐现象、简谐振动、交流电，等等，也具有周期性，而“三角函数”正是刻画这些变化的基本函数模型.-在现行的高中数学课程中，学习并理解三角函数的概念、三角函数作为函数的性质、三角函数作为函数的应用，组成了“三角函数”课程的主要内容，在学习并理解三角函数概念时应突出函数思想.因此，不难理解函数思想是影响三角函数概念的最主要因素.1.2坐标思想直角坐标系是展示函数规律的载体，是联

4、系三角函数和三角函数图象的载体.一方面，在直角坐标系中，借助“单位圆”，一个角的终边与单位圆的交点的横坐标、纵坐标、以及纵坐标与横坐标的比值_是正切函数，他们都随着角的大小的变化而变化，这样就使我们能够动态地理解三角函数所反映出的函数关系；借助“单位圆”，运用坐标思想，还可以帮助我们理解三角函数的性质，例如，三角函数的定义域、值域、最大（小）值、周期性、诱导公式、单调性等;另一方面，坐标思想还可以帮助我们理解函数图象，并通过函数图象从另一个角度理解三角函数的上述性质.因此，坐标思想(解析几何)是构架“数形结合”的天然桥梁.1.3三角函数概念中的函数值与比值的关系在直角坐标系中，依托单位圆，已经

5、给出了三角函数的定义.在图3中，若分别设点A(cosx:，sinx)、B(l,y2)、C，由相似三角形，得(其中OA=1)，cosx在上面的式子中，在点的函数值恰恰是B点的纵坐标.把三角函数值看做直角三角形相应边的比值，是初中阶段对三角函数的认识，例如在RtDABC中，图4A这两种定义方式是一致的，只是在初中阶段角度的范围是在0°到90°之间.当三角形确定时，相应角的三角函数值也就确定了，这样就可以运用这些确定的值来讨论三角形的边角关系.1.4三角函数的物理背景在学习和理解三角函数的概念时，帮助学生建立一批丰富的实际模型是非常重要的.例如，交流电、简谐振动等都可以用三角函数来刻画，国旗升起的时

6、间、潮汐现象也可以近似地用三角函数来描述.很多一线教师，开发了许多三角函数的实际模型，在学习这些模型的过程中，有助于学生对三角函数概念的认识和理解，有助于提高学生的应用能力.把数学学习和物理学习有机的结合起来，对学生综合素质的提升也是非常有意义的.2整体把握三角函数概念在“三角函数”这部分内容中，“三角函数概念”是最重要的概念，对于“三角函数概念”的理解应该贯穿于学习三角函数这部分内容的始终，把对“三角函数概念”的理解局限在一节课里是不科学的.学生对于每一个重要数学概念的认识不是一蹴而就的，是需要—个渐进的、逐步深人的认识过程，这就要求教师在教学过程中要整体处理，把握教学，要有意识地在一个阶段

7、的学习过程中，帮助学生逐步形成一个完整的知识链，在教学逐步深入的同时，有针对性地展开对一些重要概念的深入理解和认识过程.在三角函数这部分内容中，与“三角函数概念”有联系的知识参考框图如下：图5通过这个图，我们希望能把三角函数概念的学习和理解贯穿到整个三角函数内容，当然也包括解三角形•从这个图中可以看出单位圆和三角函数图象也是贯穿整个三角函数内容的，这一点我们在很多文章中多次强调，从而使学生对三角函