中学数学研究-陕070661函数概念演变简史

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1、资料编号14338函数张生春发表在陕070661上属于教法、类型、史话题为《函数概念演变简史》函数概念可以说是近现代数学的一个核心概念，同时即便是对中学生来说也是一个普通概念，但有趣的是其形成和完善却经历了三百多年的历史，许多大数学家为之付出了心血，尤其是莱布尼茨、欧拉、狄利克雷、戴德金等人的工作具有里程碑式的意义.1早期函数槪念的提出现代数学的许多部分在古希腊数学中都能找到它的思想源泉，而唯独函数概念在希腊数学中没有任何地位.一直到17世纪末期，为了研究动点轨迹，笛卡儿开始应用代数方法于几何曲线

2、的研究，出现了与曲线相关的各种类型的解析表达式（而在此以前，曲线是通过几何性质来研究的，如阿基米德定义抛物线为圆锥截线，而不是方程），变量思想进人了数学，才使得引进函数概念成为可能.1673年，在莱布尼茨的一篇手稿中，首次使用了“函数（Function)”。词，但他是用来表示由一个方程给出的任何一条曲线上随着点的变动而变动的量，如切线、法线、次切线等的长度以及纵坐标等，显然与今天的函数概念是截然不同的.1698年，约翰.伯努利给莱布尼茨的信中在上述意义上用到了“坐标函数(Functionsofth

3、eordinates)”的词语.1718年，他首次借筋“变量”的概念从解析的角度明确给出了早期函数概念的定义：“以一定方式由变量和常量组成的量的复合叫这个变量的函数”，并用Fx表示x的函数.这里的复合即指解析表达式.显然，伯努利的函数概念也源于对曲线的研究，并且他也曾研究过一些具体的代数函数和超越函数.这些表明此时人们关注的中心依然是几何对象，但随着明确定义的出现，人们已经逐渐不满足于几何的直观理解了，而逐渐转向函数解析表示的研究.2欧拉的可表示、可计算函数槪念真正认识到函数重要性的第一人是欧拉，

4、也正是欧拉使得分析学——关于函数的学说成为一门独立于几何学、代数学的新的数学分支.在1748年出版的《无穷小分析引论》中他把函数定义为“由常量和变量以任何方式组成的解析表达式实际上，欧拉的思想是约翰.伯努利思想的继承和发展.首先，这里的组成方式是指运算符号的连接方式，其中包括代数运算以及各种超越运算的求值过程（包括序列的极限、无穷级数之和、无穷乘积等等）.欧拉进一步认为，函数间的原则区别在于组成这些函数的变量和常量的组成方式不同.据此，他给出了至今还广泛应用的函数的分类，区分出了显函数和隐函数、单

5、值函数和多值函数，并指出，函数的自变量不仅可取实值，也可取虚值，这一见解开创了复变函数的先河.其次，欧拉明确规定一个给定的函数在它的整个定义域内只能由一个解析表达式来表示.这是因为欧拉的函数思想也是与曲线的解析研究相联系的，而且他所关注的曲线是所谓的“连续曲线”：由一个代数或超越方程表示的曲线为连续曲线；相应地，在整个自变量取值范围内由一个解析表达式决定的函数即为连续函数，是“真正的函数（GenuineFunctions)”，而不同组成部分用不同方程表示的曲线则是“病态的”或“混合的”或“不规则的

6、”，所决定的函数也就不是“真正的函数很显然，欧拉的连续函数概念等价于解析表达式的单一性，而不是函数图形的接连不断，它是一种整体连续，是不同于柯西和波尔查诺的局部连续的.尽管由于弦振动问题使得欧拉认识到了分段函数存在的必要性和合理性，而不得不推广他的函数概念(1755年，在《微分学原理》一书中他给出了一个新的定义:如果某些量这样地依赖于另一些量，当后者改变时它经受变化，那么称前者为后者的函数（这里已有对应思想的萌芽，但不明确）.但综观整个18世纪，占统治地位的函数概念仍然是：函数是由一个解析表达式(

7、有限的或无限的）决定的.例如，拉格朗日在他的《解析函数论》（1797)—书中把函数定义为自变量在其中可以按任何形式出现并对计算有用的表达式.在《函数计算教程》（1806)中，他说：函数代表着要得到未知量的值而对已知量必须要完成的那些不同运算，未知量的值本质上只是计算的最终结果.由此可见，这一阶段的函数是与曲线、解析式及其求值混在一起的，并没有完全摆脱“算”的范畴.3柯西的奠基性工作和狄利克雷的数值对应思想首先给出现代意义上函数定义的是柯西.如前所述，直到18世纪末，数学家们还认为只有连续函数才是使

8、用一个解析式来表达的，而且只有表示连续函数的解析式才是真正的函数，否则为“病态函数柯西首先注意到了这种形式化定义的不精确性.它曾给出了这样一个例子：这个函数在欧拉的意义上不是真正的函数，因为它由两个法则决定，即分段；然而当用表示时却是“真正的函数”且连续，这无疑出现了矛盾.1823年，在变量的基础上，柯西给出了第一个接近于现代形式的定义：“当一些变量以这样的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示