中学数学研究-陕140305关于中学数学教材中“总体”概念和“标准差”应用的讨论

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1、资料编号14497概率与统计总体标准差韦俊发表在陕140305上属于教法、辅导、教材摘要题为《关于中学数学教材中“总体”概念和“标准差”应用的讨论》韦俊(新疆伊犁师范学院数学系）何一龙(新疆伊宁市第三中学）1问题的提出在一次有关如何使用初中和高中数学教材教学的培训中，34位教师围绕“统计总体”的概念以及“标准差”的使用，展开了激烈的讨论。针对“什么是总体”这个问题，教师提出疑惑：不同的数学教材对总体这一概念给予了两种不同的解释。例如，要了解某校教师的工资水平，有的教材把该校全体教师看成总体，有的教材

2、则把该校教师工资的全体看成总体。不同版本的教材为什么要对总体的概念给予不同的定义，教学中应以哪种说法为准？关于标准差的使用，教师就一个问题“甲班学生的数学考试成绩的平均分为85分，标准差为10分；乙班学生的数学考试成绩的平均分为72分，标准差为9分，哪个班的平均成绩的代表性较好?”提出了不同的看法。有的教师认为，当平均数相等或比较接近时，用标准差比较两组数据的离散程度；有的认为，当两组数据的平均数相差较大时，也可以用标准差比较两组数据的离散程度。这是因为学生使用计算器来计算方差，而计算器中只有方差的

3、计算公式。有个别教师认为，当两组数据的平均数相差较大时，要视情况来分析，甲班平均分高，说明甲班的成绩普遍比乙班高一些，虽然甲班的标准差比乙班的大一点，但是在中学对两个班的成绩做评价时，大家都会认为甲班的平均成绩应该比乙班高。下面我们先梳理三种不同版本初中和高中数学教材有关总体的定义，并加以分析和解读。然后再从应用统计学的角度说明标准差的使用。2几个不同版本教材对“总体”概念的解释教材1义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级（上）（人民教育出版社，2004年4月第1版）在“调查中小学生的视力情况——

4、抽样调査举例”一节中提到“整个地区中小学生的视力情况是我们要考察的全体对象，称为总体”。教材2义务教育课程标准实验教科书《数学》七年级(下）（人民教育出版社,2008年6月第2版）在“统计调查”一节中提到“某校有2000名学生，要想了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、游戏五类电视节目的喜爱情况……全校学生是考查的全体对象，称为总体，组成总体的每一名学生称为个体”。教材3普通高中课程标准实验教科书A版《数学3》(人民教育出版社，2007年2月第3版）第100页通过一道选择题间接给出了总体的定义：为了

5、了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生的成绩进行统计分析。在这个问题中，5000名学生成绩的全体是（）。A.总体B.个体C.从总体中抽取的一个样本D.样本的容量3对“总体”两种解释的解读梳理和分析以上教材对总体概念的解释，可以看出总体概念有两种定义：一是“由统计研究目的确定的，具有相同性质的许多个别事物组成的集合”[1]，而构成总体的个别事物叫个体。例如，根据“了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩”这一统计研究目的，可以确定5000名学生的全体就是总体。

6、有的学者把这个总体称为“自然总体”[2]。二是“自然总体中每个个体的测量值的集合”，文献[2]中称这样的总体为“测量总体”，按此定义，5000名学生成绩的全体就是总体。对总体概念进行两种界定，主要是由于描述统计和推断统计研究问题的侧重点不同造成的。描述统计是利用数字方法和图象方法寻找数据集的模式总结数据集展现的信息，并用方便的形式表达这些信息[3]。内容主要包括统计数据的收集、整理，数据分布特征的概括与分析。实际中，一项统计工作（这里指描述统计工作）包括统计调查、统计整理和统计分析，统计整理在统计工

7、作中起着承上启下的作用。统计整理是对数据资料进行统计分组、汇总，进而将整理结果编制成统计表或绘制成统计图，简明扼要地表达现象的数据特征。统计分组是数据整理的关键，它是根据统计研究目的，按照某一标志将总体分成若干个不同的组。要对调查收集的数据资料进行科学的分组，就要明确总体并选择恰当的“标志”。按照文献[1]的提法，总体是根据统计任务的要求，由客观存在的、在同一性质上结合起来的许多个别事物的集合，构成总体的个别事物叫个体，又称总体单位，个体可以是“人”或“物”。标志则是说明个体(总体单位）的数量特征或

8、属性特征的名称。标志可分为品质标志和数量标志。下面以教材3中的问题为例来说明。根据统计研究目的，5000名学生的全体构成总体，每一名学生就是个体（或总体单位）.每一名学生具有姓名、性别、籍贯、年龄、学习成绩等一系列标志，其中姓名、性别、籍贯是反映每一名学生属性特征的品质标志，而年龄、学习成绩则是反映每一名学生数量特征的数量标志。在统计整理阶段，调查者通常会根据统计研究的目的，按照性别、成绩等标志将所有的学生分成若干组，再对经过审核后的数据进行分组汇总。如果是按照性别这