中学数学研究-陕130187转化与化归思想教学设计示例之二

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1、资料编号14613转化与化归殷玉波发表在陕130187上属于高考、复习、专题题为《转化与化归思想教学设计示例之二》设计思想：数学解题以转化为手段，化归为目的，所以，转化与化归思想是解决数学问题的根本思想.除极简单的问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的.解题的过程实际上就是一步步转化的过程.匈牙利著名数学家罗莎.彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话说明数学家是如何用化归的思想方法解题的.有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说:“在壶中灌

2、上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上.”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却会回答：‘只需把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”.“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法.翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，笛卡尔誉其为“万能方法”.其实所谓化归思想，一般就是指人们将待解决或难以解决的问题通过某种转化

3、过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，最终求得原问题的解答的一种手段和方法.转化与化归思想的实质是揭示联系，实现转化.一个数学问题，我们可以视其为一个数学系统或数学结构，组成其要素之间的相互依存和相互联系的形式是可变的，但其变形并不唯一，是多种多样的.所以，应用数学变换的方法去解决数学问题时，就没有一个统一的模式可以遵循.在此需要我们依据问题本身所提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻找有利于问题解决的途径和方法，并从中选择，遵循“运动一转化一解决”的基本程序.高考十分重视对转化与化归思想的考查，要求考生熟悉变换的思想，有意识地运用数学变换

4、的方法灵活解决有关问题.数学中的转化比比皆是，但是高考并不是各种转化都考，主要集中在一般与特殊的转化，繁与简的转化，构造转化，命题的转化，等等.数学解题离不开转化与化归，这本应该是随时随地内化为能力的.经过高一高二两年的数学学习和半年多的高三复习，学生对于转化与化归思想有了深刻而具体的认识.结合以上分析，进行两个课时的设计，第1课时主要是在学生已有基础上，对转化与化归思想进行归纳和提升，在转化的方法上寻求一些方向或规律，增强转化意识.解题遇到障碍或受阻时，会运用转化的思想去寻找有效的路径.第1课时主要以函数、导数、不等式为例.对于解析几何问题普遍感到

5、不好想、不好算，所以第2课时以解析几何典型问题为载体，寻求转化与化归思想在解析几何问题中的常规思路.难点：在灵活性与多样性中寻找规律性.教学方法：以经典试题为载体，师生共同研讨、分析转化的可能路径.需要说明的是本文中的解答仅供教师参考，习题解答最好由学生课下完成.第1课时1.1介绍转化与化归思想的定义数学解题的过程，就是转化与化归的过程.化归的基本思想是：人们在解决数学问题时，常常将待解决的问题A，通过某种手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对容易解决或已经有固定解决模式的问题，且通过问题B的解决可得原问题A的解答.用前面提到的烧水的故事，通俗的解

6、释什么是转化与化归思想.转化与化归的核心是：把未知问题通过转化，归结为已经解决或者能够解决的问题.1.2运用化归与转化的思想解题大体上有三种途径(1)对问题的局部进行转化.对问题的某个条件或结论做出转化，如式的恒等变形、三角函数值与角终边满足的条件的转化.等等.这种转化主要是为了能直接运用一般规律和结论.(2)命题的转化，例如根据原命题和逆否命题的等价性进行转化等.这种“不同说法”之间的转化常常可以使那些“理不清”或“说不清”的问题变得容易判断、理解.(3)对问题整体上的转化，诸如代数、几何领域之间的跨越式转化.1.3化归与转化应遵循的基本原则(1)

7、熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解.化归思想方法的主要特点是它的灵活性和多样性.一个数学问题，各个主要元素之间的相互依存和相互联系的形式不是唯一的，而是多种多样的.所以应用数学化归与转化的方法去解决有关数学问题时，就没有一个

8、统一的模式可以遵循.因此，我们必须根据问题本身所提供的信息，利用动态的思维，做到具体问题具体分析，从而寻求出