中学数学研究-陕080813如何帮助学生实现从直观到抽象的跨越？——由函数单调性的教学设计引发的思考

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1、资料编号14438函数单调性张格波发表在陕080813上属于教法、辅导、课例摘要题为《如何帮助学生实现从直观到抽象的跨越？——由函数单调性的教学设计引发的思考》在函数单调性的教学中，教师通过创设情境——展示气温图象，一次函数、二次函数、反比例函数的图象，使学生很容易从图形直观上升到自然语言叙述―x增大（减小）,y增大（减小）．困难就在于如何由自然语言抽象到符号语言，这是本节的教学难点．最近笔者听了这节课，课后又认真翻阅了相关杂志．在笔者比较的几个教学设计中，教师都提出了以下的问题：如何用精确的数学语言刻画函数图象的上述特征呢？但在帮助学生实现从直观到抽象的跨

2、越，建立数学概念时，不同的教师采用了不同的方案．笔者不禁思考，如何帮助学生实现从直观到抽象的跨越，从而建立数学概念，突破教学难点．1片断回放与辨析反思1.1一个定义，几点注意的教学设计(1）问题：怎样用数学语言刻画上述函数图象的特征呢？(2）教师直接给出增函数的数学定义．(3）师生进行定义剖析，提出以下注意点：①注意函数的单调性是对某个区间而言的；②特别注意定义中“给定区间”“属于”“任意”“都有”这几个关键词；③关注几何特征，单调增（图象从左向右连续上升），单调减（图象从左向右连续下降）.辨析与反思：这种教学设计将教学的重点放在单调性的强化练习与应用上了，

3、试图通过强化练习来巩固和加深对概念的理解．显然这种处理方案没有让学生体悟到概念发生的过程，从而这种符号化、形式化的数学表达：“当时，"，就像天上掉下的一样，学生会感到十分突然，莫明其妙，更无从知道“所以然”了．虽然教师反复提醒学生要注意“任意、都有”这些关键词，学生却会想：为什么“任意、都有”是关键词？而其他的就不是呢？没有“任意、都有”会怎样呢？长时间如此，就势必会使得一部分学生认为数学是一堆公式、定理、法则的组合，是聪明人的文字游戏，从而降低对数学的兴趣．同时，我们也要认识到，正是由于缺失了对知识的发生过程的了解，学生的抽象概括能力也就失去了锻炼的机会．

4、也许有人会认为自然语言与符号化语言的距离太大，学生很难跨越，与其浪费时间，不如经过应用来深化对概念的理解．但我想不能因为难，就望之却步，实际上正是因为学生缺乏这方面的锻炼，缺乏概念形成中的火热思考、思维碰撞，才会使之抽象、概括、构建新表征的能力差，才会感到困难．因此，无论是对概念的实质性理解，数学观念的形成，还是对数学能力的发展而言，缺乏概念发生过程的教学设计都是不恰当的．1.2着眼于“比较”的教学设计（见文〔1〕）(1）问题：怎样用数学语言刻画上述函数图象的特征呢？(2）让学生对“增大”的词义进行讨论理解．(3）让学生从“增大”的词义产生数值“对比”的思想

5、．(4）让学生尝试用数学符号表示两点数值的对比，得出定义．(5）结合图象体验两点的任意性．辨析与反思：在本设计中，教师借助于对“增大”这个词义的关注与解释，引出比较的思想，然后启发学生用对比的、比较的思想来观察图象的直观规律，把图象的连续变化转化为两个任意间断点的数值比较，降低了思维的难度，立足于学生的最近发展区，有效地实现了两种语言的联接．这种教学设计是有效的，也是自然的，因为单调性本身刻画的就是一种变化趋势，就蕴涵着数字比较．但我们不禁也会去想：“增大”意味着“要比较”，那就一定要用两个任意性的字母去比较吗？从这种意义上讲，这种教学设计似乎没有把握问题的

6、关键．比较是应该有的，但比较不能是具体数字的比较．其实在单调性的教学中还有一点要注意的：把连续变化转化为“任意两点”的原因是什么？怎样让学生感受到？因此从这个角度看，本设计留下了遗憾．1.3着眼于“任意性”的教学设计（见文[2]）(1）问题：如何用准确的数学符号语言来刻画函数在区间上，y随着x的增大而增大？(2）引导学生判断：①因为当1<2时，f(1)

7、一开始就把“增大”默认为比较，并把重点放在让学生通过判断来体会任意性上了，从而抓住了问题的重点．可以设想，学生经过这样的辨别后，对定义中的“任意”“都有”就有了感性的认识，从而便于理解、构建新的概念．如果教师此时能进一步提问：怎样才能让自变量取遍整个区间呢？难道真要一个个地列举下去吗？学生马上就会反应出来——既不必要，也不可能．教师再点拨一下，那怎么办呢？很多学生就会想到用字母代替具体数字，从而实现无限向有限的转化，概念的形成似乎也就水到渠成了．另外本设计没有注意到对概念形式化、符号化的必要性的揭示，学生也许会问，为什么要用准确的数学符号语言来刻画？2概念认

8、知过程的再分析与教学设计的重建2.1认知过程的再分析