中学数学研究-陕140123利用导数研究函数的单调性简析

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1、资料编号14486函数导数单调性居艳发表在陕140123上属于教法、辅导、课本摘要题为《利用导数研究函数的单调性简析》利用导数研究函数的单调性是现行高中各版本教材“导数及其应用”章节中的内容。单调性的研究方法在必修教材的“函数的概念与基本初等函数I”章节中已经接触过，当时是利用函数单调性的定义来研究函数单调性的。选修教材中学生再次接触函数单调性的判断，还是比较亲切且易于掌握的。但正是这些比较亲切的内容，笔者发现学生在学习该内容时仍存在着认识的误区。1常值函数是否具有单调性讨论函数的单调性[1].解答此题时，对于k>0,此函数

2、在R上单调递增,k<0,此函数在R上单调递减，学生没有任何异议。但对于k=0，学生无法作答。无论是《数学1》中利用定义判断函数的单调性，还是选修教材中利用导数判断函数的单调性，都未提及常值函数单调性的判定，所以很多学生经常忽视对k=0这一情况的讨论。那么对于常值函数，单调性到底如何判定？笔者翻阅了本科数学专业课程《数学分析》一书，发现高等数学中函数单调性的定义与高中教材中的定义有一定的区别。《数学分析》中的定义如下：一般地，若在集上有定义,且当居艳(南京师范大学附属中学)通过上述讨论可以发现，直接利用导数求解函数的单调区间所

3、得的区间一定是开区间。由此得到第二个问题。3.2通过何种途径，能够使利用导数求解函数的单调区间与单调性定义一致高中阶段，通常情况下我们接触的函数是基本初等函数，这些函数除了在端点处无意义外（如对数函数、反比例函数等），其余部分均连续，因此在利用导数的方法求解基本初等函数的单调区间时，只要观察函数在端点处有无意义即可，如果有意义，加上端点，如果无意义，就写成开区间的形式。但是，除了基本初等函数，其他函数是否也有类似的结论呢？请看下面这个例子。个函数的图象（图3)•可以观察出它在闭区间上单调递减，根据单调性的定义，函数的单调减区

4、间不能缺少两个端点。对于端点处不连续的函数，其单调区间的求解可以先判断开区间内的单调性，然后对端点处的函数值加以讨论，最终确定函数的单调区间。「11单埤.普通高中课稈标准实验教蚪书：数卞选修11[M].3版.南京：江苏教育出版社.20丨2.[2]欧阳光中•姚允龙.数学分析：丨-_册=M].1版.上海：复P大学出版社.1993.i"3l雄埤.咨■通卨中课程标准实验教科II数学rvc3版.南W:江苏教育出版社教材中为什么没有深究这些问题呢？笔者认为高中教材在导数章节出现前没有明确提及极限与连续的概念.所以没有加以深究。待学生在大

5、学学习高等数学时，还会系统学习这些概念，自然就会清晰理解。孔子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。”教师在教学过程中会遇到学生提出的形形色色的问题，有些是知识方法层面的问题.有些是理解认知层面的问题,有些则是超出了学生现有知识体系与认知水平的问题。对于前两类问题,教师通过适当的讲解，学生可以很快理解并掌握，但对于第三类问题，一般是出现在学生对于所学知识深度研究后而提出的，对教师具有一定的挑战性。教师在教学中要理清学生所提问题的类型。给学生一瓢水，教师自身要具备一桶水，仅限于高中教材有时并不能解决学生的所有疑惑。因此，提升教师自

6、身专业素养，培养终生学习研究的习惯，是每位教师都应关注的。以上是笔者在教学过程中由学生的错误、学生的问题引发的自己对教材的研究与思考，不当之处，敬请指正。参考文献：