1.3 二次函数的三种解析式

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1、二次函数的三种解析式二次函数解析式常见的三种表示形式：(1)一般式(2)顶点式(3)交点式回味知识点：y=ax2+bx+c(a≠0）一般式a,b同号a,b异号C＞0C＜0C=0经过原点xyoCxyoCxyoCxyoCxyoC顶点坐标对称轴与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交对称轴在y轴的左侧对称轴在y轴的右侧与x轴交点的求法：令y=0,得到ax2+bx+c=0与x轴交点情况：当b2-4ac＞0时有两个交点当b2-4ac=0时有一个交点当b2-4ac＜0时没有交点顶点在y轴上顶点在x轴上xyoxyoxyo顶点在原点b=c=0xyoxyo与y轴交点的求法：令x=0,得到y=c

2、即（0，c）与y轴始终有一个交点（0，c）如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);那么AB=

3、x1-x2

4、=xyoCx1x2交点式y=a(x-x1)(x-x2)对称轴二次函数图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0);AB=

5、x1-x2

6、顶点横坐标=xyox2x1PAB顶点式y=a(x+m)2+k顶点坐标(-m,k)对称轴x=-m当a>0,x=-m时,y有最小值为kx<-m表示在对称轴的左侧当k=0时顶点在x轴上k-mxyo当a<0,x=-m时,y有最大值为kx>-m表示在对称轴的右侧当m=0时,顶点在y轴上；xyohkkhhx

7、yoh-mk-k(-m,k)若a>0,m>0,k>0把y=ax2的图象向右平移h个单位得到向左平移h个单位得到向上平移k个单位得到向下平移k个单位得到向右平移m个单位并向上平移k个单位得到y=a(x+m)2y=ax2+ky=ax2-ky=a(x-m)2+ky=a(x-m)2(1)图象过A(0，1)、B（1，2）、C（2，-1）三点一:已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c∵图象过A(0，1)、B（1，2）、C（2，-1）三点∴∴∴y=-2x2+3x+1xyo解：∵A(1，0)，对称轴为x=2∴抛物线与

8、x轴另一个交点C应为（3，0）∴设其解析式为y=a(x-1)(x-3)∵B（0，-3）∴-3=a（0-1）（0-3）∴a=-1∴y=-(x-1)(x-3)（2）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x=21AB-3C32（3）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）解：∵图象顶点是（-2，3）∴设其解析式为y=a（x+2）2+3∵经过点（-1，5）∴5=a（-1+2）2+3∴a=2∴y=2（x+2）2+3（4）图象和x轴交于（-2，0）、（4，0）两点且顶点为（1，-9/2）解：由于题中告诉了图象与x轴的交点坐标，又告诉了顶点坐标，所以既可以用交点式又

9、可以用顶点式来设其解析式设交点式为：y=a(x+2)(x-4)∴-9/2=a(1+2)(1-4)∵顶点为（1，-9/2）∴a=-1/2∴y=-1/2(x+2)(x-4)（5）图象顶点是M（1，16）且与x轴交于两点，已知两交点相距8个单位。解：∵顶点M坐标为（1，16），对称轴为x=1，又交点A、B关于直线x=1对称，AB=8∴A（-3，0）、B（5，0）∴此函数解析式可设为y=a（x-1）2+16或y=a（x+3）（x-5）xyo116AB-35二:求满足下列条件的抛物线的解析式(1)经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2解：∵B（-1，0）且在

10、x轴上截得的线段长为2∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或C’（1，0）∴设抛物线的解析式为y=a（x-x1）（x-x2）①当抛物线经过A、B、C三点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）又∵抛物线经过A（2，4）∴4=a（2+1）（2+3）②当抛物线经过A、B、C’三点时，解析式为y=a（x+1）（x-1）xyoB-1-31CC’∴a=∴y=（x+1）（x+3）(2)交x轴于A（x1，0），B（x2，0），顶点为P（1，-4），且x12+x22=10解：∵=1∴=2∵x12+x22=10∴x1=-1;x2=3∴A（-1，0），B（3，0）∴抛物线的解析式为

11、y=a（x+1）（x-3）又∵抛物线的顶点为P（1，-4）∴-4=a（1+1）（1-3）∴a=1∴y=（x+1）（x-3）xyo1-4AB-13P课堂小结：1.抛物线的三种解析式？3.各种解析式对称轴、顶点坐标求法？2.如何选择这三种解析式求抛物线的解析式？4.二次函数的最值的求法？5.抛物线的平移规律？6.抛物线与x轴两交点距离的求法？过点（2，4），且当x=1时，y有最值6，求函数解析式。已知抛物线经过A，B，C三点，当时，其图象如图所示。求抛物线的解析式。如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽为20米，水位上升3米就达到