数学的---抽屉原则

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1、数学的---抽屉原则安团实验学校程永桥什么是抽屉原则我们先看下面一副妙趣横生的漫画。这幅画出于一位数学家之手，它曾刊登在一种著名数学杂志的封面上，画里表示三只鸽子要进两个鸽巢。想一想，可能会产生什么样的结果呢？要么两只鸽子进了一个巢，而另外一只鸽子进了另一个巢；要么三只鸽子都进了一个巢。这两种情况可用一句话表示：一定有一个巢里有两只或两只以上的鸽子。虽然哪个巢里至少有两只鸽子我们无法断定，但这是无关紧要的，重要的是有这样一个巢，其中进来了两只或两只以上的鸽子。如果我们把上面问题中的数字作一下改变，例如不是三只鸽子进两个巢，而是十只鸽子进九个巢，那么结果怎样呢？我们不难理解

2、，这十只鸽子不管以怎样的方式进巢（假定每一个巢都相当大，可以容纳全部鸽子），仍然是一定有一个巢里至少有两只鸽子。上面推理的正确性是显而易见的，就连小学生也是完全能够接受的。怎样把这一问题推广到更一般的形式，从而得出某种基本原理来呢？我们先看以下两点：（1）如果将鸽子换成苹果、糖果、书本或数，同时将鸽巢相应地换成抽屉、小孩、学生或数的集合，仍然可以得到相同的结论。这就是说，上面推理的正确性与具体事物没有关系。如果我们把一切可以与鸽子互换的事物叫作元素，而把一切与鸽巢互换的事物叫作集合，那么上述结论就可以这样叙述：十个元素以任意的方式分到九个集合之中，一定有一个集合中至少有两

3、个元素。（2）鸽子与鸽巢的数目也是无关紧要的，只要鸽子数比鸽巢数多，推理照样成立。通过这两点分析，我们可以把上面问题中所包含的基本原理写成下面的一般形式：原则1如果把多于n个的元素按任一确定的方式分成n个集合，那么一定有一个集合中至少含有两个元素。也许是由于上面那幅漫画的缘故，有人把这一原则称作鸽巢原则。又有人把鸽子进入鸽巢比作苹果放进抽屉里，所以通常也称作抽屉原则。以下我们采用抽屉原则这一称呼。初看起来，有人会觉得这一原则太简单了，简直平淡无奇。然而正是这样一些平凡朴素的原则，在初等数学乃至高等数学中，有着许多应用。巧妙灵活地运用这些原则，可以很顺利地解决一些看上去相当

4、复杂，甚至觉得简直无法下手的数学问题。1下面我们先看看，如何运用这一原则解决日常生活中的一些有趣的问题。例1某校一年级招收了四百名新生，而年龄最大的与最小的相差不到一周岁。那么这些新生中一定有两个人是同年、同月、同日出生的。你知道为什么吗？分析：也许有同学会说，新生入学登记的卡片上有每个同学的出生年、月、日，只要把全部新生的卡片查一下就知道了。如果我们规定不能查这些卡片，那么该怎么办呢？其实完全没有必要看这些登记表，只要把一年中的每一天看作一个抽屉，而把每一个新生的生日看作“苹果”，运用抽屉原则就可以解决。证明：把一年中的三百六十五天（闰年三百六十六天）中的每一天看作一个

5、抽屉，把四百名新生的每一个人的生日看成一个“苹果”，由于“苹果”数目多于“抽屉”数目，根据抽屉原则，一定有一个抽屉里至少有两个“苹果”。也就是说，至少有两个同学的生日相同。再根据同学们的年龄相差不到一周岁，所以这两个同学一定是同年、同月、同日出生的。说明：从上面的例子可以看出运用抽屉原则解题，一定要恰当地选好“抽屉”和“苹果”。例2某小学有一千多名学生，从学生中任意挑选13人，证明在这13名学生中至少有两个人属相相同。证明：属相一共有12种，设12种属相为12个“抽屉”，而把13名学生当作13个“苹果”。当“苹果”放入“抽屉”后，根据抽屉原则，有一个“抽屉”里至少放了两个

6、“苹果”，也就是说至少有两个人的属相相同。例3六年级（1）班有40名学生，班里有个小书架，同学们可以任意借阅，试问小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的书？解：把40名学生当作40个“抽屉”，而把书当作“苹果”，根据抽屉原则，“苹果”数目要比“抽屉”数目大，才能保证至少有一个“抽屉”里有两个或两个以上的“苹果”。因此，小书架上至少要有41本图书，才能保证至少有一个同学能借到两本或两本以上的图书。说明：例3是运用抽屉原则来求“苹果”或元素的个数的。以上三个例题中有关“抽屉”和“苹果”的选择比较简单。但在很多情况下，“抽屉”和“苹果”并非如此明

7、显，一下子就能选好，而是要认真地分析思考才能找到“抽屉”和“苹果”。有时“抽屉”和“苹果”的数目也不是现成的，需要通过分析，才能计算得到。例4黑色、白色、黄色的筷子各有8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子（每双筷子两根的颜色应一样）。问至少要取多少根才能保证达到要求？（首届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试题）解：例4不能像前3个例题那样一下子就找到了“抽屉”和“苹果”，从而直接运用抽屉原则来解决问题。解这个问题时需作认真的思考和分析。1①据说19世纪著名的德国数学家狄里克雷最早明确地运用这一原则明