三角函数恒等变换含答案及高考题

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1、-三角函数恒等变形的基本策略。（1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。（2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。22（3）降次与升次。（4）化弦（切）法。（4）引入辅助角。asinθ+bcosθ=a2b2sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=b确定。a1．已知tanx=2，求sinx，cosx的值．解：因为tanxsinx2，又sin2x＋cos2x=1，cosxsinx2

2、cosx，联立得cos2xsin2x12525sinx5,sinx5.解这个方程组得cosx5cosx5552．求tan(120)cos(210)sin(480)的值．tan(690)sin(150)cos(330)解：原式tan(120180)cos(18030)sin(360120)tan(72030o)sin(150)cos(36030)tan60(cos30)(sin120)3.tan30(3sin150)cos30sinxcosx3．若2,，求sinxcosx的值．sinxcosx解：法一：因为sinxcosx2,sinxcosx所以sinx－cosx=2(sinx＋c

3、osx)，得到sinx=－3cosx，又sin2x＋cos2x=1，联立方程组，解得310310sinx10sinx10，，cosx101010cosx10--所以sinxcosx310法二：因为sinxcosx2,sinxcosx--所以sinx－cosx=2(sinx＋cosx)，--22所以(sinx－cosx)=4(sinx＋cosx)，--所以有sinxcosx3--104．求证：tan2x·sin2x=tan2x－sin2x．222222222证明：法一：右边＝tanx－sinx=tanx－(tanx·cosx)=tanx(1－cosx)=tanx·sinx，问题得

4、证．222222222法二：左边=tanx·sinx=tanx(1－cosx)=tanx－tanx·cosx=tanx－sinx，问题得证．5．求函数y2sin(xπ]上的值域．2)在区间[0，26解：因为0≤x≤2π，所以0xπ,πxπ7π,由正弦函数的图象，26266xπ[1,1],得到sin()226所以y∈[－1，2]．6．求下列函数的值域．(1)y＝sin2x－cosx+2；(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)．解：(1)y=sin2x－cosx＋2＝1－cos2x－cosx＋2=－(cos2x＋cosx)＋3，令t=cosx，则t[1,1],y(t2t

5、)3(t1)213(t1)213,2424利用二次函数的图象得到y[1,13].422，sin(xπ(2)y＝2sinxcosx－(sinx＋cosx)=(sinx＋cosx)－1－(sinx＋cosx)，令t=sinx＋cosx)，则54t[2,2]则，yt2t1,利用二次函数的图象得到y[,12].47．若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为(2,2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式．解：由最高点为(2,2)，得到A2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是1--个周期，这样求得T4，T=1

6、6，所以π48又由22sin(π2)，得到可以取8448．已知函数f(x)=cosx－2sinxcosx－sinx．4πππ.y2sin(x).484--(Ⅰ)求f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若xπ[0,],求f(x)的最大值、最小值．2数y1sinx的值域．3cosx--解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x(cos2xsin2x)sin2xcos2xsin2x2sin(ππ2x)2sin(2x)44所以最小正周期为π．(Ⅱ)若xπππ3ππ当x3π[0,]，则(2x)[4,]，所以当

7、x=0时，f(x)取最大值为2sin()1;时，24448--f(x)取最小值为2.1．已知tan2，求（1）cossin；（2）sin2sin.cos2cos2的值.cossincossin1sin1tan12cos322解：（1）；cossinsin1tan121cossin22cos2(2)sin2sincos2cos2sincossin2sin2cos2sin222242cos2cossin2213.1cos2说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），