1.5二次函数的应用

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1、二次函数的应用本课内容本节内容1.5如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一段，拱桥的跨度是4.9m，水面宽4m时，拱顶离水面2m，若想了解水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化，你能建立函数模型来解决这个问题吗？动脑筋拱桥的纵截面是抛物线的一部分，应当是某个二次函数的图象，因此可以建立二次函数模型来刻画.为简便起见，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如下图所示.由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为y=ax2.已知水面宽4m时，拱顶离水面高2m，因此点A(2，-2)在抛物线上.由此得出-2=a·22，解得这样

2、我们可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化.因此这个函数的表达式是，其中

3、x

4、是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数.由于拱桥的跨度为4.9m，因此自变量x的取值范围是：-2.45≤x≤2.45.想一想，当水面宽4.6m时，拱顶离水面几米？建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？实际问题实际问实际问题的解建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解如图所示，用8m长的铝材做成一个日字形窗框.试问：窗框的宽和高各为多少时，窗框的透光面积S(m2)最大？最大面积是多少？(假设铝材的宽度不计)由于做窗框的铝材长度已确定

5、，而窗框的面积S随矩形一边长的变化而变化.因此，设窗框的宽为xm，则高为，其中0

6、0-10x（件），单件利润为（30+x-20）元，设每件商品的销售单价上涨x元，一个月内获取的商品总利润为y元.解则y=(10+x）(180-10x），即y=-10x2+80x+1800（x≤18）.将上式进行配方，y=-10x2+80x+1800=-10（x-4）2+1960.当x=4时，即销售单价为34元时，y取最大值1960.答：当销售单价定为34元时，该店在一个月内能获得最大利润1960元.1.如图是某抛物线形悬索桥的截面示意图，已知悬索桥两端主塔高150m，主塔之间的距离为900m，试建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所

7、对应的二次函数表达式.练习900m150m可设该抛物线形桥所对应的二次函数表达式为y=ax2.又可知此抛物线过点(450，150)，所以有解：如图，以悬索桥的中心点为原点，抛物线形桥的对称轴为y轴建立直角坐标系.Oxy900m150m所以该抛物线形桥所对应的二次函数表达式为解得2.小妍想将一根72cm长的彩带剪成两段，分别围成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和为多少？解：设围成的这两个正方形的边长分别为a、b，则其面积和S=a2+b2.又由已知4a+4b=72，化简即a+b=18.所以a=18-b.S

8、=a2+b2=(18-b)2+b2=2b2-36b+324=2(b-9)2+162.所以当b=9时，S达到最小值162.此时a=18-b=9.则4a=36（cm），即把彩带剪成相等的两段，每段长为36cm，这时围成的两个正方形的面积和最小，此时的面积和为162cm2.小结与复习2.举例说明如何用描点法来作出一个二次函数的图象，并指出画图的步骤.3.说出二次函数y=a（x-h）2+k的图象具有哪些性质.什么形式的函数叫作二次函数试举例说明.4.如何将y=ax2+bx+c（a≠0）配方成y=a（x-h）2+k（a≠0）的形式？*5.如何用

9、不共线三点的坐标来求出二次函数的表达式？6.结合抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的位置关系，说明一元二次方程ax2+bx+c=0的根的各种情况.7.如何利用二次函数的图象求一元二次方程的根的近似值？8.试结合实例说明，建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？*不共线三点确定二次函数的表达式二次函数的图象与性质二次函数二次函数的概念二次函数与一元二次方程的联系二次函数的应用我们可以从y=ax2（a>0）的图象与性质出发，得出二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，探究过程如下：1.y=ax2（a>0）的图象与

10、性质y=-ax2（a>0）的图象与性质y=a（x-h）2（a>0）的图象与性质y=ax2+bx+c的图象与性质y=a（x-h）2+k（a>0）的图象与性质沿x轴翻折当k＞0时，向上平移k个单位当k＜0时，向下平移｜k｜个