《3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义》同步练习5

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1、《复数代数形式的加、减运算及其几何意义》同步练习51．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，则这个实根以及实数k的值分别为__________________________和__________________________．2．已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？3．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．4．已知z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ且z1－z2＝＋i，求cos(α＋β)的值．5．设z

2、＝a＋bi(a、b∈R)，且4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，又ω＝sinθ－icosθ，求z的值和

3、z－ω

4、的取值范围．答案1．[答案]　或[解析]　方程的实根必然适合方程，设x＝x0为方程的实根，代入整理后得a＋bi＝0的形式，由复数相等的充要条件，可得关于x0和k的方程组，通过解方程组可得x及k的值．2．[分析]　根据复数与复平面上点的对应关系知，复数z对应的点在第几象限，与复数z的实部与虚部的符号有关，所以本题的关键是判断(a2－2a＋4)与－(a2－2a＋2)的符号．求复数z对应点的轨迹问题，首先把z表示成z＝x＋yi(x、y∈R)的形式，然后寻求x、y之间

5、的关系，但要注意参数限定的条件．[解析]　由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，∴复数z的实部为正数，复数z的虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限．设z＝x＋yi(x，y∈R)，则，消去a2－2a得：y＝－x＋2(x≥3)．∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)．[点评]　对于求复数z的轨迹方程问题，关键是要设z＝x＋yi(x、y∈R)，利用复数相等的充要条件转化为动点(x，y)关于a的参数方程，在消去参数a时，注意观察到a2－2a是一个整体，这样可以简化消参数的过程．3．[解析]　因为z1＝＋

6、(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，所以z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i＝＋(m2－2m－15)i.因为z1＋z2是虚数，所以m2－2m－15≠0且m≠－2.所以m≠5且m≠－3且m≠－2.所以m的取值范围是(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2，5)∪(5，＋∞)．4．[解析]　∵z1＝cosα＋isinα，z2＝cosβ－isinβ，∴z1－z2＝(cosα－cosβ)＋i(sinα＋sinβ)＝＋i，∴①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，即cos(α＋β)＝.5．[解析]　∵4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，∴6a＋2bi＝3＋i，∴∴

7、∴z＝＋i，∴z－ω＝－(sinθ－icosθ)＝＋i∴

8、z－ω

9、＝＝＝＝，∵－1≤sin≤1，∴0≤2－2sin≤4∴0≤

10、z－ω

11、≤2，故所求得z＝＋i，

12、z－ω

13、的取值范围是[0，2]．