2020版高考数学第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第6节离散型随机变量及其分布列讲义理

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1、第6节　离散型随机变量及其分布列考试要求　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.了解超几何分布，并能解决简单的实际问题.知识梳理1.离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.2.离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列.(2)离散型随机变量的分布列的性质

2、：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.3.常见离散型随机变量的分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为，其中p＝P(X＝1)称为成功概率.(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称随机变量X服从超几何分布.X01…mP…基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可

3、能不具有实际意义.(　　)(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，X25P0.30.7则它服从两点分布.(　　)(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.(　　)解析　对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试

4、验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确.答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2.(选修2－3P49练习2改编)抛掷一枚质地均匀的硬币2次，则正面向上次数X的所有可能取值是________.答案　0，1，23.(选修2－3P77A1改编)已知离散型随机变量X的分布列为X012P0.51－2qq2则常数q＝________.解析　由分布列的性质得0.5＋1－2q＋q2＝1，解得q＝1－或q＝1＋(舍去).答案　1－4.(2019·菏泽联考)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝

5、4)的值为(　　)A.B.C.D.解析　{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.答案　C5.(2019·郑州二模)设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝________.解析　由已知得X的所有可能取值为0，1，且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，得P(X＝0)＝.答案　6.(2019·杭州二模改编)设随机变量X的概率分布列为X1234Pm则P(

6、X－3

7、＝1)＝________.解析　由＋m＋＋＝1，解得m＝，P(

8、X－3

9、＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝.答案　考点一　

10、离散型随机变量分布列的性质【例1】设随机变量X的分布列为P＝ak(k＝1，2，3，4，5).(1)求a的值；(2)求P；(3)求P.解　(1)由分布列的性质，得P＋P＋P＋P＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝.(2)P＝P＋P＋P(X＝1)＝3×＋4×＋5×＝.(3)P＝P＋P＋P＝＋＋＝.规律方法　分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.【训练1】随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，

11、则P(

12、X

13、＝1)＝________，公差d的取值范围是________.解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，所以P(

14、X

15、＝1)＝a＋c＝.又a＝－d，c＝＋d，根据分布列的性质，得0≤－d≤，0≤＋d≤，所以－≤d≤.答案　　考点二　超几何分布的应用　典例迁移【例2】(经典母题)(2017·山东卷改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种