2020版高考数学第七章立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构及其表面积、体积讲义

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1、第1节　空间几何体的结构及其表面积、体积考试要求　1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题；3.能用斜二测法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图.知识梳理1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相平行且全等多边形互相平行且相似侧棱平行且相等相交于一点，但不一定相等延长线交于一点侧面形状

2、平行四边形三角形梯形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开矩形扇形扇环图2.直观图空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中

3、变为原来的一半.3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l4.空间几何体的表面积与体积公式　　名称几何体　　　　表面积体积柱　体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝S底h锥　体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝S底h台　体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝(S上＋S下＋)h球S＝4πR2V＝πR3[微点提醒]1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点.2.正方体的棱长

4、为a，球的半径为R，则与其有关的切、接球常用结论如下：(1)若球为正方体的外接球，则2R＝a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.3.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.4.正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.基础自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.(　　)(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(　　)(3)用斜二测画法画水平放置的

5、∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(　　)(4)锥体的体积等于底面面积与高之积.(　　)解析　(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱.(2)反例：如图所示的图形满足条件但不是棱锥.(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线段还平行于x轴，平行于y轴的线段还平行于y轴，所以∠A也可能为135°.(4)锥体的体积等于底面面积与高之积的三分之一，故不正确.答案　(1)×　(2)×　(3)×

6、　(4)×2.(必修2P10B1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是(　　)A.棱台　B.四棱柱C.五棱柱　D.六棱柱解析　由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.答案　C3.(必修2P27练习1改编)已知圆锥的表面积等于12πcm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为(　　)A.1cmB.2cmC.3cmD.cm解析　由题意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm).答案　B4.(2016·全

7、国Ⅱ卷)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为(　　)A.12πB.πC.8πD.4π解析　设正方体的棱长为a，则a3＝8，解得a＝2.设球的半径为R，则2R＝a，即R＝.所以球的表面积S＝4πR2＝12π.答案　A5.(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为(　　)A.πB.C.D.解析　如图画出圆柱的轴截面ABCD，O为球心.球半径R＝OA＝1，球心到底面圆的距离为OM＝.∴底面圆半径r＝＝，故圆柱体积V＝π·r2·h＝π·×1

8、＝.答案　B6.(2019·菏泽一中月考)用斜二测画法画水平放置的矩形的直观图，则直观图的面积与原矩形的面积之比为________.解析　设原矩形的长为a，宽为b，则其直观图是长为a，高为sin45°＝b的平行四边形，所以＝＝.答案　考点一　空间几何体的结构特征【例1】(1)给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②直角三角形绕其任一边所在直线旋