2018_2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质讲义(含解析)新人教a版

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1、2.3.2 抛物线的简单几何性质预习课本P60~63,思考并完成以下问题抛物线有哪些几何性质? 抛物线的简单几何性质类型y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图象性质焦点FFFF准线x=-x=y=-y=范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e=1开口方向向右向左向上向下[点睛] 抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系y2=ax一次项为x项,x轴为对称轴a>0时,焦点在x轴正半轴上,开口向右a<0时,焦点在x轴负半轴上,开口向左x2=ay一次项为y项,y轴为对称

2、轴a>0时,焦点在y轴正半轴上,开口向上a<0时,焦点在y轴负半轴上,开口向下1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)抛物线x2=2py(p>0)有一条对称轴为y轴(  )(2)抛物线y=-x2的准线方程是x=(  )答案:(1)√ (2)×2.设点A为抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),且

3、AB

4、=1,则点A的横坐标为(  )A.2          B.0C.2或0D.-2或2答案:B3.过抛物线y2=8x的焦点作倾斜角为45°的直线,则被抛物线截得的弦长为(  )A.8B.16C.32D.64答案:B4.若双曲线-=1(p>0)的左焦点

5、在抛物线y2=2px的准线上,则p=________.答案:4抛物线方程及其几何性质[典例] 已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,求抛物线的方程.[解] 设所求抛物线的方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),抛物线与圆的交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则

6、y1

7、+

8、y2

9、=2,即y1-y2=2.由对称性,知y2=-y1,代入上式,得y1=,把y1=代入x2+y2=4,得x1=±1,所以点(1,)在抛物线y2=2px上,点(-1,)在抛物线y2=-2px上,可得p=.于是所求抛物线的

10、方程为y2=3x或y2=-3x.用待定系数法求抛物线方程的步骤[注意] 求抛物线的方程时要注意抛物线的焦点位置,不同的焦点设出不同的方程.    [活学活用]1.边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是(  )A.y2=x        B.y2=-xC.y2=±xD.y2=±x解析:选C 设抛物线方程为y2=ax(a≠0).又A(取点A在x轴上方),则有=±a,解得a=±,所以抛物线方程为y2=±x.故选C.2.已知点M(x,y)在抛物线y2=8x上,则f(x,y)=x2-y2+12x+9的取值范围为________.解析

11、:f(x,y)=x2-8x+12x+9=(x+2)2+5,又x∈[0,+∞),所以当x=0时,f(x,y)取得最小值9.所以f(x,y)的取值范围为[9,+∞).答案:[9,+∞)焦点弦问题[典例] 过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,且A,B两点的纵坐标之积为-4,求抛物线C的方程.[解] 由于抛物线的焦点F,故可设直线AB的方程为x=my+.由得y2-2pmy-p2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-p2,∴-p2=-4,由p>0,可得p=2,∴抛物线C的方程为y2=4x.(1)已知AB是过抛物线y2=2px(p

12、>0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1),B(x2,y2),则:①y1y2=-p2,x1x2=;②

13、AB

14、=x1+x2+p=(θ为直线AB的倾斜角);③S△ABO=(θ为直线AB的倾斜角);④+=;⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(2)当直线经过抛物线的焦点,且与抛物线的对称轴垂直时,直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径,显然通径长等于2p.      [活学活用]1.过抛物线x2=4y的焦点F作直线l交抛物线于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,则

15、P1P2

16、=(  )A.5          B.6C.8D.10解析:选C

17、 由抛物线的定义知

18、P1P2

19、=y1+y2+p=6+2=8.2.已知抛物线的顶点在原点,x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为的直线被抛物线所截得的弦长为6,求抛物线的标准方程.解:当抛物线焦点在x轴正半轴上时,可设抛物线标准方程为y2=2px(p>0),则焦点F,直线l的方程为y=x-.设直线l与抛物线的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),过点A,B向抛物线的准线作垂线,垂足分别为点A1,点B1,则

20、AB

21、=

22、AF

23、+

24、BF

25、=

26、AA1

27、+

28、BB1

29、=+=x1+x2+p=6,∴x1+x2=6-p. ①由消去y,得2=2px,

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