2018学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的简单几何性质学案含解析新人教a版选修

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1、2．3.2　抛物线的简单几何性质[提出问题]问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线y2＝2px有对称性吗？提示：有，关于x轴对称．[导入新知]抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下[化解疑难]1．抛物线只有一条

2、对称轴，一个顶点，一个焦点，一条准线．无对称中心，无渐近线．标准方程只有一个参数，不同于椭圆、双曲线．2．p的几何意义：焦点到准线的距离．它的大小，影响抛物线开口大小.抛物线方程及其几何性质[例1]　已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上不同的两点，O为坐标原点，若

3、OA

4、＝

5、OB13

6、，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．[解]　如图所示．设A(x0，y0)，由题意可知B(x0，－y0)，又F是△AOB的垂心，则AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，即·＝－1，∴y＝x0，又

7、y＝2px0，∴x0＝2p＋＝.因此直线AB的方程为x＝.[类题通法]根据抛物线的几何性质求抛物线的方程，一般利用待定系数法，先“定形”，再“定量”．但要注意充分运用抛物线定义，并结合图形，必要时还要进行分类讨论．[活学活用]已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，可设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，则焦点F，直线l：x＝，∴A，B两点坐标分别为，，∴

8、AB

9、＝2

10、p

11、.∵△OAB的面积

12、为4，∴··2

13、p

14、＝4，∴p＝±2.∴抛物线方程为y2＝±4x.直线与抛物线的位置关系[例2]　若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证：OA⊥OB.13证明：由消去y，得x2－12x＋16＝0.∵直线y＝x－4与抛物线相交于不同两点A，B，∴可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝12，x1x2＝16.∵·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1－4)(x2－4)＝x1x2＋x1x2－4(x1＋x2)＋16＝16＋16－4×12＋16＝0，∴⊥，即OA⊥OB.

15、[类题通法]将直线方程与抛物线方程联立，转化为一元二次方程，可通过直线与抛物线的位置关系转化为对判别式Δ或者对向量数量积的限制条件，利用限制条件建立不等式或等式，利用根与系数的关系运算求解．[活学活用]过点(－3,2)的直线与抛物线y2＝4x只有一个公共点，求此直线方程．解：显然，直线斜率k存在，设其方程为y－2＝k(x＋3)，由消去x，整理得ky2－4y＋8＋12k＝0.①(1)当k＝0时，方程①化为－4y＋8＝0，即y＝2，此时过(－3,2)的直线方程为y＝2，满足条件．(2)当k≠0时，方程①

16、应有两个相等实根．由即得k＝或k＝－1.所以直线方程为y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.故所求直线有三条，其方程分别为：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.抛物线中的最值问题[例3]　在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．13[解]　法一：设P(x0，y0)是y2＝2x上任一点，则点P到直线l的距离d＝＝＝，当y0＝1时，dmin＝，∴P.法二：设与抛物线相切且与直线x－y＋3＝0平行的直线方程为x－y

17、＋m＝0，由得y2－2y＋2m＝0，∵Δ＝(－2)2－4×2m＝0，∴m＝.∴平行直线的方程为x－y＋＝0，此时点到直线的最短距离转化为两平行线之间的距离，则dmin＝＝，此时点P的坐标为.[类题通法]解决与抛物线有关的最值问题时，一方面注意从几何方面观察、分析，并利用抛物线的定义解决问题；另一方面，还要注意从代数角度入手，建立函数关系，利用函数知识求解．总之，与抛物线有关的最值问题主要有两种方法：(1)定义法；(2)函数法．[活学活用]点P在抛物线2y2＝x上，点Q在圆(x－2)2＋y2＝1上，求

18、

19、PQ

20、的最小值．解：圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为M(2,0)，设P(2y，y1)，则

21、PM

22、2＝(2y－2)2＋y＝4y－7y＋413＝42＋≥，∴

23、PM

24、≥，∴

25、PQ

26、min＝

27、PM

28、min－1＝－1.　　　　[典例]　已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)，点F是抛物线的焦点．求证：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；(2)

29、AB

30、＝x1＋x2＋p.[证明]　(1)过焦点F的直线AB的方程为y＝k或x＝.当直线A