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《2019年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3抛物线2.3.2抛物线的简单几何性质讲义（含解析）湘教版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2．3.2 抛物线的简单几何性质第一课时 抛物线的简单几何性质[读教材·填要点]抛物线的几何性质类型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图象性质焦点FFFF准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下[小问题·大思维]1．抛物线y2＝2px(p>0)有几条对称轴？是否是中心对称图形？提示：有一条对称轴，即x轴，不是中心对称图形．2．抛物线上一点与焦点F的连线的线段叫作焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫作焦
2、点弦，若P(x0，y0)是抛物线上任意一点，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据上述定义，你能完成以下表格吗？标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半径
3、PF
4、
5、PF
6、＝____
7、PF
8、＝____
9、PF
10、＝____
11、PF
12、＝____焦点弦
13、AB
14、
15、AB
16、＝____
17、AB
18、＝____
19、AB
20、＝____
21、AB
22、＝____提示：标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半径
23、PF
24、
25、PF
26、＝x0＋
27、PF
28、＝－x0
29、PF
30、＝y0＋
31、PF
32、
33、＝－y0焦点弦
34、AB
35、
36、AB
37、＝x1＋x2＋p
38、AB
39、＝p－x1－x2
40、AB
41、＝y1＋y2＋p
42、AB
43、＝p－y1－y2抛物线方程及其几何性质已知顶点在原点，以x轴为对称轴，且过焦点垂直于x轴的弦AB的长为8，求出抛物线的方程，并指出它的焦点坐标和准线方程．[自主解答] 当焦点在x轴的正半轴上时，设方程为y2＝2px(p>0)．当x＝时，y＝±p，由
44、AB
45、＝2p＝8，得p＝4.故抛物线方程为y2＝8x，焦点坐标为(2,0)，准线方程为x＝－2.当焦点在x轴的负半轴上时，设方程y2＝－2px(p>0)．由对称性知抛物线方程为y2＝－8x，焦点坐标为(－2,0)，准线方程为
46、x＝2.用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要步骤为：1．已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．解：由题意，抛物线方程为y2＝2px(p≠0)，焦点F，直线l：x＝，∴A，B两点坐标为，.∴
47、AB
48、＝2
49、p
50、.∵△OAB的面积为4，∴··2
51、p
52、＝4.∴p＝±2.∴抛物线方程为y2＝±4x.抛物线几何性质的应用已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若
53、OA
54、＝
55、OB
56、，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程．[自主解答] ∵
57、OA
58、＝
59、
60、OB
61、，∴设A，B坐标分别为A(x0，y0)，B(x0，－y0)．∵△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F，∴kFA·kOB＝－1，即·＝－1，∴y＝x0＝2px0(x0＞0，p＞0)．∴x0＝p.∴直线AB的方程为x＝p.若将“△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点”改为“OA⊥OB”，求
62、AB
63、的值．解：由题意知，△AOB为等腰直角三角形，且A，B两点关于x轴对称．如图，设A(x0，y0)，则kOA＝＝1且y＝2px0，∴x0＝y0＝2p，∴
64、AB
65、＝2y0＝4p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件．本题的关键是
66、根据抛物线的对称性可知线段AB垂直于x轴．故求直线AB的方程时求出A的横坐标即可．2．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若OA⊥OB，且OA的方程为y＝2x，
67、AB
68、＝5，求抛物线的方程．解：∵OA⊥OB，∴△AOB为直角三角形．∵OA所在直线为y＝2x，∴OB所在直线方程为y＝－x.由得A点坐标.由得B点坐标为(8p，－4p)．∵
69、AB
70、＝5，∴＝5.∵p>0，解得p＝，∴所求抛物线方程为y2＝x.抛物线中过焦点的弦长问题过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若
71、AB
72、＝7，求AB的中点M到抛物线准线
73、的距离．[自主解答] 抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由抛物线定义知
74、AB
75、＝
76、AF
77、＋
78、BF
79、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中点M的横坐标为，因此点M到抛物线准线的距离为＋1＝.抛物线y2＝±2px(p>0)的过焦点的弦长
80、AB
81、＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分别是点A，B横坐标的绝对值；抛物线x2＝±2py(p>0)的过焦点的弦长
82、AB
83、＝y1＋y2＋p，其中y1，y2分别是点A，B纵坐标的绝对值．3．已知直线l：y＝4x－6与抛物线y2＝6x交于A，B两点，求
