九年级数学一元二次方程2.5一元二次方程的应用第2课时图形面积和动点几何问题素材新版湘教版

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1、第2课时　图形面积和几何问题素材一新课导入设计情景导入　　置疑导入　　归纳导入　　复习导入　　类比导入　　悬念激趣情景导入　提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，有着优良的传统，并取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与近代的解法相似．下面是我国南宋数学家杨辉1275年提出的一个问题：直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．答：阔二十四步，长三十六步．

2、这里，我们不谈杨辉的解法，你能用已学过的知识解决上面的问题吗？[说明与建议]说明：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题目内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值．通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣．建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想．悬念激趣　如图2－5－1，小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子．如果要求长方体盒子的底面积为81cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？图2－5－1[说明与建议]说明：通过生活中的实际问题的引入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生学习的兴

3、趣．建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活，要求同学们能用一些所学的数学知识解决生活中的实际问题，体会到数学的应用价值，体会到方程是刻画现实世界的一个有效的工具．素材二教材母题挖掘教材母题——第51页例3如图2－5－2，一长为32m，宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为540m2，求道路的宽．图2－5－2【模型建立】此类问题一般要利用“图形经过移动，它的面积不变”的道理，把纵、横的路平移到一起，利用面积的和差解决问题．有关面积问题的常见图形有如下几种：图2－5－3【变式变形】1．[兰州中考

4、]如图2－5－4，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路的宽为x米，则根据题意可列出方程为__(22－x)(17－x)＝300__．图2－5－4图2－5－52.如图2－5－5，已知一边靠墙，另三边用木篱笆围成一个面积为130m2的长方形花坛，木篱笆长为33m，墙长为15m，问花坛的两邻边长分别为多少米才能使木篱笆正好合适？[答案：垂直于墙的一边长为10m，平行于墙的一边长为13m]3．如图2－5－6，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，

5、他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少钱？[答案：700元]图2－5－6素材三考情考向分析[命题角度1]列一元二次方程解决等积变形问题在列一元二次方程解决等积变形问题时，要抓住以下三个等量关系：①形状面积变化，周长不变；②容器形状改变，但容积不变；③原料体积＝成品体积，从而找出题中的等量关系，列出方程．例　[襄阳中考]用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的长方形．设长

6、方形的长为xcm，则可列方程为(　B　)A．x(20＋x)＝64　　　　B．x(20－x)＝64C．x(40＋x)＝64D．x(40－x)＝64[命题角度2]列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题方程是我们利用数学知识解决实际问题时常用的一种数学模型，而构建方程解决问题的关键是找到等量关系，几何图形常用的数量关系往往和线段的长度、角的度数和图形的面积等因素不可分割．例如本课素材二[教材母题挖掘]．[命题角度3]列一元二次方程解决存在性问题列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤是：先假设问题存在或成立，然后根据题意列出方程求解．如果方程有解，就说明假

7、设成立；如果方程无解，则说明假设不成立．例　[淮安中考]用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米．(1)求y关于x的函数关系式．(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．解：(1)y＝x(16－x)＝－x2＋16x(0

8、由于Δ＝256－280＝－24<0，因此该方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场．