最短线段解中考题

《最短线段解中考题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、.中考“最短线段”问题的重要应用高尚军甘肃省定西市安定区内官营中学743011【摘要】数学的内容博大精深，“最短线段”问题相关中考试题可谓是千变万化，这一问题解题的思路和方法就是根据轴对称知识实现化“折”为“直”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”来解决。具备这一数学思想，中考涉及直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、一次函数、反比例函数、抛物线等为载体的试题通过分类，可收到举一反三，事倍功半的效果。【关键词】中考试题；最短问题；应用举例一、问题探究在人教版八年级上册P42，有这样一个问题：在这个问题中，利用轴对称将折线转化为直线，再根据“两点

2、之间线段最短”，“垂线段最短”等知识得到最短线段，这一类问题是当今中考的热点题型。二、数学模型1.两点之间线段最短（1）如图1，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。..（2）如图2，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。（3）如图3，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。4.如图，点P，Q为∠MON内的两点，分别在OM，ON上作点A，B，使四边形PAQB的周长最小。2.垂线段最短1.如图5，点A是∠MON外的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最

3、小。图5图6图7..2.如图6和7，点A是∠MON内的一点，在射线OM上作点P，使PA与点P到射线ON的距离之和最小。三、中考试题举例（一)两点之间线段最短题型：直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、函数等。直线类1．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？解：作点B关于直线CD的对称点B'，连接AB'，交CD于点M则AM+BM=AM+

4、B'M=AB'，水厂建在M点时，费用最小。如右图，在直角△AB'E中，AE=AC+CE=10+30=40，EB'=30，所以：AB'=50，总费用为：50×3=150万。变式．如图C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC。已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；..(2)请问点C满足什么条件时，AC＋CE的值最小?(3)根据(2)中的规律和结论，请构图求出代数式的最小值。解：(2)A、C、E三点共线时AC+CE最小，连接AE/，交BD于点C，则AE/就是AC+CE的最小值，最小值是10

5、.(3)如右图AE的长就是代数式（0≤x≤8）的最小值，在直角△AEF中,AF=5，/EF=12根据勾股定理：AE=13.角类2．两条公路OA、OB相交，在两条公路的中间有一个油库，设为点P，如在两条公路上各设置一个加油站，，请你设计一个方案，把两个加油站设在何处，可使运油车从油库出发，经过一个加油站，再到另一个加油站，最后回到油库所走的路程最短.分析：这是一个实际问题，我们需要把它转化为数学问题，经过分析，我们知道此题是求运油车所走路程最短，OA与OB相交，点P在∠AOB内部，通常我们会想到轴对称，分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交

6、OA、OB于C、D，C、D两点就是使运油车所走路程最短，而建加油站的地点，那么是不是最短的呢？我们可以用三角形的三边关系进行说明.解：分别做点P关于直线OA和OB的对称点P1、P2，连结P1P2分别交OA、OB于C、D，则C、D就是建加油站的位置.若取异于C、D两点的点，则由三角形的三边关系，可知在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短.点评：在这里没有详细说明为什么在C、D两点建加油站运油车所走的路程最短，请同学们思考弄明白。3．如图∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、P分别是OA、OB上..的动点，求△PQR周长的最小值．分别作点P关于OA、O

7、B的对称点P1、P2，连接P1P2，交OA、OB于点Q，R，连接OP1，OP2，则OP=OP1=OP2=10，且∠P1OP2=90°由勾股定理得P1P2=10三角形类4．如图，等腰Rt△ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为即在AC上作一点P，使PB+PE最小作点B关于AC的对称点B'，连接B'E，交AC于点P，则B'E=PB'+PE=PB+PE，B'E的长就是PB+PE的最小值在直角△B'EF中，EF=1，B'F=3，根据勾股定理得B'E7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，