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1、实用文案收稿日期：2012-05-11作者简介：郭允远（1963—），男，山东沂南人,中学高级教师，临沂市教育局教科研中心高中数学教研员,山东省教学能手，山东省知名高考研究专家，主要从事中学数学教育与高考研究.攻克解析几何综合题的几种策略郭允远(山东省临沂市教育科学研究中心)摘要：解析几何综合题，在高考解答题中一般出现在最后两题之一的位置，以其综合性强、运算量大、区分度高等特点，成为常考常新、经久不衰的热点、难点问题.从破解难点的角度，以典型高考试题为例，给出全面审题、分部转化，设而不求、整体处理，数形结合、减少运算等一般性策略,在关键之
2、处有点评,可有效解决这类难题之难点.关键词：解析几何；综合题；高考题例；解题策略解析几何综合题表现为题干长，条件多，往往要涉及几种曲线的组合，可能还要与平面向量、函数、不等式等其他内容综合，有两问或三问，第二问往往是探索性、开放性问题，如是否存在问题，定点、定值、最值等问题．这样的问题设计,特别有利于考查学生综合分析解决问题的能力,因而成为高考的主干内容之一,而且常以压轴题呈现，常考常新，经久不衰.可以说,这几乎是所有学生的一个难点,很多学生对其有惧怕感,有的只做第一问,第二问干脆放弃.对此,本文结合部分高考题中有相当难度的解析几何压轴题
3、,分析攻克这类题目第二问、第三问的一般性策略,供广大师生参考.一、全面审题，分部转化由于解析几何综合题具有信息量大、字母符号多、图形复杂等特点，另一方面学生面对探索性、存在性等问法，缺少明确的解题目标，难以找到解题方向.因此，审清题意、找到解题的入口是解题的前提.全面审题要做好“三审”：审条件，审结论，审图形，并注意隐含条件.弄清题干给出的是哪一种或几种曲线，它们是怎样的位置关系，其方程是已知的还是含字母待求的，等等，要对照图形找到它们之间的关系（若题目没有给出图形，要边读题边画出图形），通过审结论明确解题目标。但是，由于条件和结论距离甚
4、远,很可能还找不到解题的方向,那么，就要对条件逐一进行转化,向着结论指示的解题目标转化,同时也转化结论,一旦“对接”,就找到了问题解决的入口。例1（2011年湖南卷·理21）如图1，椭圆的离心率为，x轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长．(1)求的方程；标准文档实用文案图1(2)设与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与相交于点分别与相交于点D、E.①证明：②记的面积分别是问：是否存在直线l，使得请说明理由.解析：本题涉及椭圆、抛物线、直线的相关问题，本质是直线l与相交问题.第（1）问易得的方程分别为第(2)问②，通过审图形、审条件，抓住问
5、题的本质是直线l与相交于点A、B，实施如下转化即可使问题获得解决:.第(2)问②为存在性问题，假设存在直线l满足，需要分别求出、的表达式，由与，则求出点A、B与D、E的坐标即可.设直线MA的斜率为，则直线的方程为，由解得或，则点A的坐标为又直线MB的斜率为，同理可得点B的坐标为.【点评】利用类比推理，直接得到点B的坐标，节省了运算.于是又由得，标准文档实用文案解得或，则点D的坐标为；又直线的斜率为，同理可得点E的坐标，于是，因此.由题意知，，解得或.又由点A、B的坐标可知，，所以故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为和.【点评】若
6、直接设AB的方程为y=kx与抛物线的方程联立，可以用k表示出，但用k表示的运算就复杂了.所以注意运用①的结论，即与，转化为直线MA(MD)与、的关系，进而把、都用MA的斜率表示，通过点A、B的坐标完成了与k的“对接”.二、设而不求，整体处理在解析几何解题中，恰当地设某些变量（尽量减少变量个数），如点的坐标、直线方程、圆锥曲线方程等，是解题的开始，而过程中的运算是解题能否完成的关键.要围绕解题的总目标,运用设而不求等运算技巧，实施整体代换、整体化简、整体求出等策略，往往可起到化繁为简、事半功倍的卓越功效.例2（2011年浙江卷·理21）已知
7、抛物线＝，圆的圆心为点M.（1）求点M到抛物线的准线的距离；（2）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A、B两点，若过M、P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程.解析：（1）易得圆心M(0,4)到准线的距离为.标准文档实用文案（2）本题涉及三个动点P、A、B，两条动直线AB，l两种位置关系：相切、垂直，要求直线l的方程，需求l的斜率或点P的坐标,离已知条件甚远,所以要实施分部转化,先大胆设出三个动点的坐标,用坐标表示两种位置关系.设，、由题意得，，.【点评】利用点P、A、B在抛物线＝上,巧设点的坐标,较少
8、了变量个数，使得以下的解法优于试题原答案的解法；注意挖掘题目的隐含条件也是重要的一点.所以PA方程为,即.因为PA与圆M相切，所以,即.同理,所以、是关于t的方程的两个根.所以，.而=.【点评
