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1、温馨提示：此题库为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，关闭Word文档返回原板块。考点35立体几何中的向量方法解答题1.（2011·福建卷理科·Ｔ20）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；（II）设AB=AP.（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长；（ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由.【思路点拨】(1)证平面PAB中的直线AB，从而可推得面P
2、AB，也可以建立坐标系证明两面的法向量垂直；（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后用空间向量法进行求解探究.【精讲精析】解法1：（I）因为平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA，又，所以平面PAD.又平面PAB，所以平面PAB平面PAD.(2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）.在平面ABCD内，作交于点E，则.在中，.设，则.由AB+AD＝4得AD＝，所以，（i）设平面PCD的法向量为由得取，得平面PCD的一个法向量.即解得或（舍去，因为），所以AB＝（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的
3、距离都相等，设G（0,m,0）(其中)，则[来源:学.科.网Z.X.X.K]由得即.①由得②由①②消去，化简得③由于方程③没有实数根，所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B,C，D的距离都相等.解法2：（I）同解法1.（Ⅱ）（i）同解法1.[来源:学科网]（ii）假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等.由GC＝GD，得从而即CG，所以.设，则，AG＝AD-GD＝.在中，这与GB＝GD矛盾.所以在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等.2.（2011·江苏高考·Ｔ25）如
4、图，在正四棱柱中，，点是的中点，点在上，设二面角的大小为。（1）当时，求的长；（2）当时，求的长。【思路点拨】本题考查的是空间向量基本概念、线面所成角、距离、数量积、空间想象能力、运算能力，解决本题的关键是正确地建立空间坐标系并正确标出各个点的坐标，然后利用空间向量的运算求解。【精讲精析】以D为原点，DA为x轴正半轴，DC为y轴正半轴，DD1为z轴正半轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0)，设M(0，1,z),面MDN的法向量，设面A1DN的法向量为，则取即(1)由题意：取（2）
5、由题意：即取3.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD.(Ⅰ)证明：PA⊥BD；(Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值.【思路点拨】第(1)问,通过证明平面证明时,可利用勾股定理，第（2）问可建立空间直角坐标系，求得二面角的余弦值【精讲精析】（Ⅰ）因为,由余弦定理得从而BD2+AD2=AB2，故BDAD;又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD.故PABD（Ⅱ）如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为轴
6、的正半轴射线DB为y轴的正半轴，射线DP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系D-，zxPCBADy则,,,.设平面PAB的法向量为=（x,y,z），则,即因此可取=设平面PBC的法向量为，则可取=（0，-1，），故二面角A-PB-C的余弦值为.4.（2011·山东高考理科·Ｔ19）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ ACB=，EA ⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC.AB=２EF.（Ⅰ)若Ｍ是线段AD上的中点，求证：GM∥平面ABFE;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ-ＢＦ-Ｃ的大小.【思路点拨】
7、（1）本小题考查线面平行的判定，只需在平面内找一条直线和已知直线平行即可.（2）本题考查利用空间向量求二面角的大小，先建立合适的空间直角坐标系，再分别求出平面BFC与平面ABF的法向量，两个法向量的夹角（或补角）即为所求二面角的大小.【精讲精析】几何法：证明：（Ⅰ），延长交的延长线于点，而，，则平面平面，即平面平面，于是三线共点，，若是线段的中点，而,则，连接AF,四边形为平行四边形，则，又∵平面，AF平面ABFE.所以平面；（Ⅱ）由平面，作，则平面，作，连接，则，于是为二面角的平面角.若，设，则，，为的中点，，，，在中,则，即二面角的
8、大小为.坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形为平行四边形，，平面，可得以点为坐标原点，所在直线分别为的直角坐标系，设，则,，E（0,0，c）.由可得，由得,，则，，而平面，所以平面；（Ⅱ）若，设，则，,则,,,设分
