射影定理的推广及应用.doc

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1、射影定理的推广及应用　　射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理　　射影定理　直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两

2、条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图（１）：Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，则有ＣD２＝ＢＤ•AD、ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。（证明略）二、变式推广　　１．逆用　　如图（１）：若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。　　　　（证明略）　　２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））　　　如图（２）：

3、△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。　　　　　　　（证明略）三、应用例１　如图（３），已知：等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２分析：　易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。（证明略）　　例

4、２　如图（４）：已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，求ＤＣ。　　分析：易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８　　(解略)例3　已知：如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，　　　　求证：ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。　　　　证明：连ＡＦ，　∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，　　　　　　　∴ＦＡ＝ＦＤ，　∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，　　　　　　∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡ

5、Ｄ，　　　　　　∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，　　　　　　∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，　　　　　　∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，　　　　　　∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴＝，∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。例4　　如图（6），已知⊙Ｏ中，ＡＢ为直径，△ＡＢＣ内接于圆，AE=AC,连BE交圆于点F，求证：∠ACF＝∠AED。分析：由条件易知，△ＡＢＣ为直角三角形，ＣＤ为高，由射影定理有AC2=ＡＤ•ＡＢ，又AE=AC，故有AE2=ＡＤ•ＡＢ，满足射影定理变式（2）条件，易得结论成立。例5　已知：如图（7），

6、直线y=x+3交x轴于点Ａ，交y轴于点Ｂ，以点Ｍ（４，０）为圆心，ＭＢ为半径作⊙Ｍ交ＡＢ的延长线于Ｄ，与y轴交于另一点Ｃ　　　（！）求点Ｄ的坐标。　　　（２）连ＡＣ、ＭＤ、ＣＤ，ＣＤ交x轴于Ｅ，求证：△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ。　　　（３）若Ｐ为弧ＢＣ上任一点时（图8），ＰＥ的延长线交Ｍ于Q,点，问当点Ｐ在弧ＢＣ（不含端点Ｂ、Ｃ）上运动时，ＡＰ•ＡＱ的值地否改变？试证明你的结论。略解：（１）作ＤＮ⊥x轴于Ｎ，运用割线定理及相似三角形的性质，可得Ｄ的坐标为（，）。　　（2）法1：由△ＣOE∽△DNE，通过计算有EM＝EC，　　　　　　　

7、　　　ＡE＝DE，又∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＭ，　　　　　　　　　　∴△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ。　　　　　　　　　　　　法2：连BM，∵∠ＡＣＥ＝∠ＡＣＢ＋∠ＢＣＤ，　　　　　　　　　　∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ＋∠ＢＤＣ，　　　　　∴∠ＡＣＥ＝∠ＢＤＣ＋２∠ＢＣＤ，　　　　　　　　　　∵∠ＢＤＣ＝∠ＢＭＥ，　∠ＤＭＢ＝２∠ＢＣＤ，　∴∠ＡＣＥ＝∠ＤＭＥ，　又∠ＡＥＣ＝∠ＤＥＭ，ＤＭ＝ＡＣ＝５∴△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ　　（３）ＡＰ•ＡＱ的值为定值。连MP,∵△ＡＣＥ≌△ＤＭＥ，∴∠ＣＡＥ＝∠ＭＤＥ，∴△ＡＭＤ∽△ＤＭＥ，∴ＤＭ２＝ＭＥ•ＭＡ，

8、　∵ＭＰ＝ＭＤ，∴ＭＰ２＝ＭＥ•ＭＡ，　∴△ＭＰＥ∽△ＭＡＰ，∴∠ＭＰＥ＝∠ＥＡＰ，　∵ＭＱ＝ＤＭ，　∴ＭＱ２＝ＭＥ•ＭＡ，　∴△ＭＥＱ∽△ＭＱＡ，∴∠ＭＥＱ＝∠ＭＱＡ，　∠ＭＱＥ＝∠ＱＡＭ，∵∠ＭＰＥ＝∠ＭＱＥ，∠ＭＥＱ＝∠ＰＥＡ，∴∠ＥＡＰ＝∠ＱＡＭ，　∠ＰＥＡ＝∠ＭＱＡ