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时间:2019-05-02
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1、射影定理的推广及应用 射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理,尽管义务教材中没有列入,但在几何证明及计算中应用很广泛,若能很好地掌握并灵活地运用它,常可取到事半功倍的效果。一般地,若将定理中的直角三角形条件非直角化,亦可得到类似的结论(这里暂且称之为射影定理的推广),而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路,熟练地掌握并巧妙地运用,定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时,“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。一、射影定理 射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两
2、条线段的比例中项;且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。如图(1):Rt△ABC中,若CD为高,则有CD2=BD•AD、BC2=BD•AB或AC2=AD•AB。(证明略)二、变式推广 1.逆用 如图(1):若△ABC中,CD为高,且有DC2=BD•AD或AC2=AD•AB或BC2=BD•AB,则有∠DCB=∠A或∠ACD=∠B,均可等到△ABC为直角三角形。 (证明略) 2.一般化,若△ABC不为直角三角形,当点D满足一定条件时,类似地仍有部分结论成立。(后文简称:射影定理变式(2)) 如图(2):
3、△ABC中,D为AB上一点,若∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A,则有△CDB∽△ACB,可得BC2=BD•AB;反之,若△ABC中,D为AB上一点,且有BC2=BD•AB,则有△CDB∽△ACB,可得到∠CDB=∠ACB,或∠DCB=∠A。 (证明略)三、应用例1 如图(3),已知:等腰三角形ABC中,AB=AC,高AD、BE交于点H,求证:4DH•DA=BC2分析: 易证∠BAD=∠CAD=900-∠C=∠HBD,联想到射影定理变式(2),可得BD2=DH•DA,又BC=2BD,故有结论成立。(证明略) 例
4、2 如图(4):已知⊙O中,D为弧AC中点,过点D的弦BD被弦AC分为4和12两部分,求DC。 分析:易得到∠DBC=∠ABD=∠DCE,满足射影定理变式(2)的条件,故有CD2=DE•DB,易求得DC=8 (解略)例3 已知:如图(5),△ABC中,AD平分∠BAC,AD的垂直平分线交AB于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F, 求证:DF2=CF•BF。 证明:连AF, ∵FH垂直平分AD, ∴FA=FD, ∠FAD=∠FDA, ∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BA
5、D, ∴∠FAD-∠CAD=∠FDA-∠BAD, ∵∠B=∠FDA-∠BAD, ∴∠FAC=∠B,又∠AFC公共, ∴△AFC∽△BFA,∴=,∴AF2=CF•BF,∴DF2=CF•BF。例4 如图(6),已知⊙O中,AB为直径,△ABC内接于圆,AE=AC,连BE交圆于点F,求证:∠ACF=∠AED。分析:由条件易知,△ABC为直角三角形,CD为高,由射影定理有AC2=AD•AB,又AE=AC,故有AE2=AD•AB,满足射影定理变式(2)条件,易得结论成立。例5 已知:如图(7),
6、直线y=x+3交x轴于点A,交y轴于点B,以点M(4,0)为圆心,MB为半径作⊙M交AB的延长线于D,与y轴交于另一点C (!)求点D的坐标。 (2)连AC、MD、CD,CD交x轴于E,求证:△ACE≌△DME。 (3)若P为弧BC上任一点时(图8),PE的延长线交M于Q,点,问当点P在弧BC(不含端点B、C)上运动时,AP•AQ的值地否改变?试证明你的结论。略解:(1)作DN⊥x轴于N,运用割线定理及相似三角形的性质,可得D的坐标为(,)。 (2)法1:由△COE∽△DNE,通过计算有EM=EC,
7、 AE=DE,又∠AEC=∠DEM, ∴△ACE≌△DME。 法2:连BM,∵∠ACE=∠ACB+∠BCD, ∠ACB=∠ABC=∠BCD+∠BDC, ∴∠ACE=∠BDC+2∠BCD, ∵∠BDC=∠BME, ∠DMB=2∠BCD, ∴∠ACE=∠DME, 又∠AEC=∠DEM,DM=AC=5∴△ACE≌△DME (3)AP•AQ的值为定值。连MP,∵△ACE≌△DME,∴∠CAE=∠MDE,∴△AMD∽△DME,∴DM2=ME•MA,
8、 ∵MP=MD,∴MP2=ME•MA, ∴△MPE∽△MAP,∴∠MPE=∠EAP, ∵MQ=DM, ∴MQ2=ME•MA, ∴△MEQ∽△MQA,∴∠MEQ=∠MQA, ∠MQE=∠QAM,∵∠MPE=∠MQE,∠MEQ=∠PEA,∴∠EAP=∠QAM, ∠PEA=∠MQA
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