正射影及三垂线定理及其逆定理

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1、正射影和三垂线定理蝇9.4(2)正射影和三垂线定理一、点在平面上的射影自点P向平面α引垂线，垂足P1叫做点P在平面α内的正射影(简称射影)P1Pα如果图形F上的所有点在一平面内的射影构成的图形,则叫做图形F在这个平面上的射影.二、图形在平面内的射影如果一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，那么这条直线叫做平面的斜线(直线PA)．PAOaα斜线上一点与斜足间的线段叫做斜线段(线段AP)．斜线和平面的交点叫做斜足(A)．容易看出：平面的斜线在平面内的射影仍是一条直线．例如在图中，斜线PA上的点A是斜足，PO⊥α，点O是垂足，则直线PA在平面α内的射影就是直线

2、OA．PAOaαPO,PA分别是平面α的垂线、斜线,OA是PA在α内的射影，直线a在平面α内,且a⊥OAPAOaα∴a⊥PA∴a⊥平面POA．又a⊥OA，PO∩OA=O，∴PO⊥a．证明：求证：a⊥PA．已知:∵PO⊥α，在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．三垂线定理PAOaα三垂线定理一个平面(垂面）四条直线（垂线，斜线，射影，平面内直线）PAOaαAaOPAaOP三垂线定理基本图形的特点分析1:一面2:四线3:三垂直线面垂直线射垂直线斜垂直正逆在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的

3、射影垂直．及其逆定理1、两平行直线在一平面内的射影不可能是（）A、两平行直线B、两点2、两直线在平面内的射影是两相交直线，则这两直线的位置关系不是（）A、两异面直线;B、两平行直线C、两相交直线;D、以上都不对巩固练习：DB3．斜线b在面α内的射影为c，直线a⊥c，则a与b（　）A．垂直B．不垂直C．垂直且相交D．以上都有可能C、一条直线D、两相交直线D4.在正方体AC1中，求证：(1)AC⊥平面D1DB;(2)D1B⊥平面ACB1C1BD1ACA1DB1证明:所以D1B⊥平面ACB15.求证:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射

4、影在这个角的平分线上．求证：∠BAO=∠CAO．证明：∵PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，∴AB⊥OE，AC⊥OF(三垂线定理的逆定理)．∵PE=PF，∴OE=OF∴点O在∠BAC的角平分线上即∠BAO=∠CAO．已知：∠BAC在平面α内，点P，PE⊥AB，PF⊥AC，PO⊥α，垂足分别是E、F、O，PE=PFPABCOEF6、如图9－42道路旁有一条河，河对岸有电塔AB，高15m，只用量角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？解:在路上取点C、D使BC垂直于CD，且∠CDB为450。测得CD=20m因BC是AC在地面上的射影，且CD垂直于BC，故C

5、D垂直于AC故电塔顶与道路的距离为25mOABCD求证：AD⊥BC证明：设O是A在平面BCD内的射影，∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴BO⊥CD，CO⊥BD，（三垂线逆定理）∴O是三角形BDC的垂心，∴DO⊥BC，（三角形的性质）∴AD⊥BC，（三垂线定理）练习：已知点O是△ABC的BC边上的高的任意一点，且OP⊥平面ABC。求证PA⊥BC。PAOCB证明：∵OP⊥平面ABCAO是PA在平面ABC内的射影，又∵AO⊥BC，∴PA⊥BC。（三垂线定理）练习：如图，PD⊥平面ABC，AC=BC，D为AB的中点，求证AB⊥PC。PDCBA证明：∵AC=BC，D是BC的中

6、点，∴AB⊥CD，∵PD⊥平面ABC，∴CD是PC在平面ABC内的射影，∴AB⊥PC（三垂线定理）练习.在正方体AC1中，求证：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1ADCBA1D1B1C1练习:EADCB解:练习.已知:空间四边形ABCD,AB=AC,DB=DC,求证:BC⊥AD.证明:取BC的中点E,连结AE,DE.EDCBA∵AB=AC,∴AE⊥BC.∵DB=DC∴DE⊥BC.∴BC⊥平面AED.∴BC⊥AD.练习.如图，ABCD是矩形，PA⊥平面AC，连结PB、PC、PD，指出图中有哪些三角形是直角三角形，并说明理由．PBDCA三垂线定理解题的关键：找三垂！

7、怎么找？一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面内的射影和平面内的一条直线垂直三由线面垂直，线射垂直得出线斜垂直解题回顾PAOaαPAOaαbcde三垂线定理是平面的一条斜线与平面内的直线垂直的判定定理，这两条直线可以是：①相交直线②异面直线使用三垂线定理还应注意些什么？解题回顾作业：P25第1、2题、3题作业：已知PA、PB、PC两两垂直，求证：P在平面ABC内的射影是△ABC的垂心。CBPAH