三垂线定理及其逆定理教案

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1、三垂线定理及其逆定理教案北京十八中王丽敏[教学目标]知识目标：掌握三垂线定理及其逆定理的分析、证明；初步会用正、逆定理解决问题。能力目标：培养学生的空间想象能力，分析问题和判断问题的能力。情感目标：培养学生学习的自信心，调动学生学习的主动性。[教学重点]三垂线定理的分析和证明及正逆定理的应用。[教学难点]三垂线定理及其逆定理的实质，三垂线定理和逆定理的应用[教学方法]讲练结合[教学工具]计算机[教学过程]一、引入新课：复习旧课：1、（1）什么叫平面的斜线？（2）什么叫斜线在平面上的射影？（3）从平面外一点向这个平面所引的斜线段和它们在平面

2、上的射影之间有什么关系？（4）直线和平面垂直的判断方法是什么？（5）平面的垂线和这平面内的每一条直线都垂直么？探索研究：1、平面的斜线和平面内的每一条直线都垂直么？（引导学生得出结论：平面的垂线和平面的斜线都和平面相交，但他们同平面内的直线的位置关系不同）2、平面内那些直线和斜线垂直？为什么？平面内这些直线有什么样的位置关系关系？（引导学生过直线上一点做平面的垂线，利用直线和平面垂直的判定定理和性质定理，得出结论：平面内凡是与射影垂直的直线一定和斜线垂直）3、学生归纳出三垂线定理的内容教师指出本节课的研究内容——三垂线定理一、新课：1、三

3、垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（1）学生分析定理的条件和结论，引导学生画出图形，写出已知求证。（2）学生给出定理的证明过程（3）教师引导学生分析定理的特性：①三垂线定理名称的由来：“四线一面三垂直”②平面内与射影垂直的直线都与斜线垂直；平面内这样的直线有无数多条，它们都是相互平行的，它们与平面的斜线可以是相交直线，异面直线。（见右图）③三垂线定理给出了判断平面内一条直线和平面的一条斜线垂直的方法；可以看作是平面的一条斜线和平面内一条直线垂直的判定定理；①学生判断下列命题的真假：⑴若a

4、是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影则a⊥b；⑵若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b；⑶若a是平面α的斜线，直线b⊥α且b垂直于a在另一平面β内的射影，则a⊥b；⑷若a是平面α的斜线,b∥α,直线b垂直于a在平面α内的射影，则a⊥b；结论：“平面内”这个条件不能丢2、教师提问：把定理的条件结论互换，所得新命题是否成立？为什么？（1）请学生口述内容给出证明（2）教师小结：在平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。重述证明过程，明确这是三垂线定理的逆定理，明确定理

5、的条件和结论一、巩固新课：1、正方体中求证：（1）（2）A1C⊥B1D1（3）A1C⊥C1D图略：分析：应用三垂线定理，明确用三垂线定理解题的关键——找面的垂线2、求证：如果一个角所在平面外一点到角两边距离相等，那么这一点在平面的射影在这个角的角平分线上分析：引导学生写出已知求证，画出正确的立体图形引导学生思考：（1）PE与PF是α的什么线？由PE⊥AB于E可知OE和AB是什么关系？PO⊥α起了什么作用？（2）PE=PF可以得到什么结论？（3）怎样证明AO平分∠BAC？板演解题过程略：再次明确两定理的用处和两定理的使用关键学生练习：四、小

6、结：1、三垂线定理及逆定理包含的垂直关系（1）线面垂直；（2）射线垂直；（3）斜线垂直；2、三垂线定理和逆定理蕴涵的实质：斜线及其射影对平面内的垂直关系具有一致性，是判断平面内一条直线和平面的一条斜线或其射影垂直的方法。3、明确利用三垂线定理及其逆定理的关键——找面的垂线。五、课后作业：1、阅读教材。2、课本27页练习1、2、3。3、已知：PA⊥正方形ABCD所在平面，O为对角线BD的中点。求证：PO⊥BD，PC⊥BD。六、板书设计：课题：定理内容：定理证明：逆定理内容：逆定理证明：定理的说明：判断正误：例题：解题过程六