小学奥数15幻方.doc

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1、1.10.4幻方例1将1～9九个自然数，填入下图空格内，使横、坚、斜对角每三个数的和都是15。解：在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵列及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。由三行三列数组成的幻方，称为“三阶幻方”。制作这种幻方的方法是：把九个自然数，按照从小到大的递增次序斜排（如图一），然后把上、下两数对调，左、右两数也对调（如图二），最后再把中部四个数各向外拉出到正方形的四角，幻方就制成了。如果

2、把图三制好的幻方，旋转90°、180°、270°都各成一个新的幻方。如果画在透明纸上，反过来观察，再旋转上述角度每次所得到的幻方，也具备上述性质。这样便可得到八个图，当然，它们并无实质上的区别。例2将1～9九个自然数，填在3×3正方形表格内，使其中每一横行、每一竖列及任一条对角线上的三数之和都不等，并且相邻的两个数在图中位置也相邻。解：具备题中特征的称为“反幻方”。据美国当代科普作家加德纳研究发现，符合上述条件的反幻方，只有两个，即：反幻方也很有趣，瞧，它的数字排列酷似个螺旋，前一个由外向内转，

3、后一个由内向外转。例3认真观察下列的七阶幻方，指出它有哪些显著的特点。解：这个幻方纵、横、斜对角的七个数和是175；如果圈出图内5×5格，也是个幻方，它的纵、横、斜五个数和也是175；圈出中心的三阶幻方，纵、横、斜三数和是75。这个幻方的奇妙之处是：将七阶幻方，剥掉一层，就成了五阶幻方；再剥掉一层，就成了三阶幻方。它从中心向外辐射，内部的三阶幻方是个核心。因此，这种幻方，叫做同心幻方，也叫嵌套幻方。例4下图是由1～64组成的八阶幻方，如果把其中的数字逐个间隔地取出来，按原顺序重新组成两个四阶方阵

4、，这个新的数字方阵，有什么特点？解：我们先把上图中数字逐个间隔地取出来，排成如下面的四阶方阵，再分析它们的特点。在这两个图中，任意一横行的数字和是130，任意一纵行的和以及斜对角四数之和都是130！更为奇妙的是：把所有的对角线连起来，凡是不足四个数的，便与它相对平行的间隔大的一个或两个数相加，其和仍是130。例如：……例5下图是个八阶幻方，算一算，它们的纵、横、对角线上的八个数和是多少？再算算八个数的积是多少？你发现了什么？解：任抽几行算算看：216＋161＋17＋52＋171＋90＋58＋75

5、＝84039＋34＋138＋243＋100＋29＋105＋152＝840117＋232＋17＋50＋45＋108＋133＋138＝840200＋153＋58＋13＋92＋57＋162＋105＝84046＋60＋17＋87＋91＋225＋162＋152＝840203＋153＋90＋184＋38＋108＋25＋39＝840……纵、横、斜任意一行，八个数的和都是840。将上面的每八个数相乘，令人惊奇的是，它们的积也相等！都是205806823185600。这个乘积的数字太大了！有没有乘积小一些的幻方呢

6、？遗憾的是，至今为止，数学爱好者们对阶数低于8的“双料”幻方，还没发现过！尽管多于八阶、十六阶以及更高阶的幻方都有制作。但是这种等和、等积的幻方，八阶以下的根本没有，或虽然有却无人能创制，总之，现在还是个谜！例6下面的图是由1～81连续自然数组成的九阶幻方。现把它分割成相等的九块。算算看，每一小块中的纵、横、斜对角的数字和有什么特点？解：从左至右，从上而下，我们对每一个方块中的纵、横、斜三数进行加法运算，令人惊奇的是：这个九阶幻方中，所分成的九小块，每一小块也都自成幻方！它们的常数分别是：96，

7、231，42；69，123，177；204，15，150。这三组数的和都是369，也是相等的，这个数又是整个大幻方的常数。这种一个大幻方中，又蕴含着许多各自独立的小幻方，被称作“母子幻方”。最早的“母子幻方”创制者是我国宋代的数学家杨辉，当时他只画出了图形，没加任何文字说明，人们大都像猜谜一样看不懂。后人经过研究，终于明白了他的意图，还弄懂了制作的方法。例7上海博物馆存有一块伊斯兰教徒佩带的玉挂，它是从浦东陆家嘴附近一个名叫陆深的墓中发现的。据考证，陆深是三国时东吴大将陆逊的后人。玉挂的正面刻有

8、：“万物非主，唯其真宰，穆罕默德为其使者。”玉挂的反面却整齐地刻着16个阿拉伯数字，经过专家的破译，原来是个四阶完全幻方（如图）。请你认真地计算一下，这个幻方有哪些更奇特的特点？解：这个幻方具有如下特点：①纵、横、对角线四数之和（34）都相等。②对角线“折断”平行线上四数之和也相等，如：11＋13＋4＋6＝3＋5＋14＋12＝3414＋2＋3＋15＝5＋9＋12＋8＝13＋16＋4＋1＝11＋7＋6＋10③幻方中，任何一个2×2正方形中四数之和也相等。如8＋11＋13＋2＝11＋14＋2＋7＝1