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1、2013年全国数学中考压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)【2013·广州·24题】已知AB是⊙O的直径,AB=4,点C在线段AB的延长线上运动,点D在⊙O上运动(不与点B重合),连接CD,且CD=OA.(1)当OC=时,求证:CD是⊙O的切线;(2)当OC>时,CD所在直线于⊙O相交,设另一交点为E,连接AE.①当D为CE中点时,求△ACE的周长;②连接OD,是否存在四边形AODE为梯形?若存在,请说明梯形个数并求此时AE·ED的值;若不存在,请说明理由。2013年全国数学中考压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)解:(1)连接OD。∵AB是⊙O的直
2、径,AB=4∴OA=OB=OD=2∴OD2=4∵OA=CD∴CD=2∴CD2=4∵OC=∴OC2=8∵OC2=OD2+CD2∴△ODC是直角三角形,且∠ODC=90°∴OD⊥CD∴CD是⊙O的切线(2)①连接OE、OD。∵D为CE的中点∴DE=CD∵CD=OA=2,OA=OD=OE∴DE=OD=OE=2∴△ODE是等边三角形∴∠DOE=∠ODE=60°∵CD=OD=2∴∠DOC=∠OCD∵∠ODE=∠DOC+∠OCD=60°∴∠DOC=∠OCD=30°过点D作DF⊥OC于F则OF=CF=OD·cos∠DOC=2×=∴OC=OF+CF=2∵∠DOC=30°,∠
3、DOE=60°∴∠AOE=90°∴AE==∴△ACE的周长=AE+DE+CD+OC+OA=+2+2+2+2=+2+6②存在四边形AODE为梯形。由题意知,当OD∥AE时,四边形AODE为梯形。由对称性知,存在两个这样的梯形,即在AC的上下方各一个。∵OD∥AE∴∠DOC=∠EAO∵△ODC、△AOE是等腰三角形又OA=OE=OD=CD=2∴△ODC≌△AOE∴OC=AE设OC=AE=m(m>),则AC=m+2∵OD∥AE∴∴,即m2-2m-4=0解得m=或(舍去)∴AE=∵∠DOC=∠EAO=∠OCD∴CE=AE∴ED=CE-CD=AE-CD=-2=∴AE·
4、ED=()()=42013年全国数学中考压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)2013年全国数学中考压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)【2013·广州·25题】已知抛物线y1=过点A(1,0),顶点为B,且抛物线不经过第三象限。(1)使用a、c表示b;(2)判断点B所在象限,并说明理由;(3)若直线y2=2x+m经过点B,且于该抛物线交于另一点C(),求当x≥1时y1的取值范围。2013年全国数学中考压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)解:(1)∵抛物线过点A(1,0)∴a+b+c=0∴b=-a-c(2)点B在第四象限。理由如下:当y1=0时,a
5、x2+bx+c=0由韦达定理得,x1·x2=∵a≠c∴x1·x2≠1∵抛物线过点A(1,0)∴1是方程的根,令x1=1∴x2≠1∴抛物线与x轴有两个交点∵抛物线不经过第三象限∴抛物线开口向上,即a>0∴顶点B在第四象限(3)∵点C在抛物线上∴b+8=a·()2+b·+c==∴b=-8∴a+c=8……①∵点C在直线y2=2x+m上∴m=-∵顶点B的坐标为(-,)即B(,),且在直线y2上∴=-……②由①②解方程组得:或∵a≠c∴a=2,c=6∴抛物线的解析式为y1=2x2-8x+6易知A(1,0)和C(3,0)是抛物线与x轴的交点,顶点B坐标为(2,-2)∵抛
6、物线开口向上∴当x≥1时,y1的取值范围为y1≥-22013年全国数学中考压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)2013年全国数学中考压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)【2013·福州·21题】如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=45°,P是BC边上一点,△PAD的面积为,设AB=,AD=(1)求与的函数关系式;(2)若∠APD=45°,当时,求PB•PC的值;(3)若∠APD=90°,求的最小值。2013年全国数学中考压轴题解析汇编03(粤闽桂海川滇黔省会)解:(1)过点A作AE⊥BC于E。∵∠B=45°,AB=x∴AE=AB·sin∠B=
7、x∵AD=y,S△APD=∴S△APD=AD·AE=·y·x=∴y关于x的函数关系式为y=(2)∵∠APD=45°∴∠APB+∠DPC=135°∵∠B=45°,AD∥BC∴∠BAD=180°-∠B=135°∴∠BAP+∠PAD=135°∵AD∥BC∴∠PAD=∠APB∴∠BAP+∠APB=135°∴∠BAP=∠DPC∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠B=∠C,AB=CD∴△ABP∽△PCD∴,即PB·PC=AB·CD∵y=1∴x=∴AB=CD=∴PB·PC=·=2(3)取AD的中点F,连接FP,过点P作PH⊥AD于H,则PF≥PH。∴当PF=PH时,PF有最小值
8、∵∠APD=90°,点F为AD的中点∴PF=AD=y
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