欢迎来到天天文库
浏览记录
ID:35951396
大小:363.38 KB
页数:10页
时间:2019-04-26
《2019年高中数学第8章统计与概率8.3正态分布曲线讲义(含解析)湘教版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、8.3正态分布曲线[读教材·填要点]1.正态曲线及其特点(1)正态曲线的概念:函数p(x)=e,x∈(-∞,+∞),其中实数μ,σ(σ>0)为参数,我们称p(x)的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线.(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方,与x轴不相交;②曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;③p(x)在x=μ处达到最大值;④当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿x轴平移;⑤当μ一定时,σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡;⑥曲线与x轴之间所夹的面积等于1.2.标准正态分布随机变量X为服务从参数为μ和σ2的正态分布,简记为X~N(μ,σ2).特别当μ=0,σ2=1时称为标准正态分布,其
2、密度函数记为φ(x)=e(-∞3、b)≈φμ,σ(x)dx,即由正态曲线,过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积,就是随机变量X落在区间(a,b]的概率近似值,如图所示.3.设两个正态分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图像如图所示.则μ1与μ2,σ1与σ2的大小关系是什么?提示:根据正态分布曲线的性质:正态分布曲线是一条关于x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“瘦高”.故μ1<μ2,σ1<σ2.也可通过比较两图象的最高点来判断,和,显然有μ1<μ2,>,∴σ1<σ2.正态曲线及其性质[例1] 某次我市高三教4、学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同[解析] 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.[答案] A利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此性质结合5、图象可求σ.(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦.1.若一个正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为,求该正态分布的概率密度函数的解析式.解:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以正态曲线关于y轴对称,即μ=0,而正态分布的概率密度函数的最大值是,所以=,解得σ=4.故函数的解析式为φμ,σ(x)=·e,x∈(-∞,+∞).利用正态分布的对称性求概率[例2] 设X~N(1,22),试求:(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5).[解] 因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827.(6、2)因为P(3<X≤5)=P(-37、=.2.已知随机变量X~N(2,σ2),若P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(X<
3、b)≈φμ,σ(x)dx,即由正态曲线,过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积,就是随机变量X落在区间(a,b]的概率近似值,如图所示.3.设两个正态分布N(μ1,σ)(σ1>0)和N(μ2,σ)(σ2>0)的密度函数图像如图所示.则μ1与μ2,σ1与σ2的大小关系是什么?提示:根据正态分布曲线的性质:正态分布曲线是一条关于x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续钟形曲线;σ越大,曲线越“矮胖”;σ越小,曲线越“瘦高”.故μ1<μ2,σ1<σ2.也可通过比较两图象的最高点来判断,和,显然有μ1<μ2,>,∴σ1<σ2.正态曲线及其性质[例1] 某次我市高三教
4、学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )A.甲科总体的标准差最小B.丙科总体的平均数最小C.乙科总体的标准差及平均数都居中D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同[解析] 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平;σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.[答案] A利用正态曲线的性质可以求参数μ,σ(1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称,由此性质结合图象求μ.(2)正态曲线在x=μ处达到峰值,由此性质结合
5、图象可求σ.(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦.1.若一个正态分布密度函数是一个偶函数,且该函数的最大值为,求该正态分布的概率密度函数的解析式.解:由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数,所以正态曲线关于y轴对称,即μ=0,而正态分布的概率密度函数的最大值是,所以=,解得σ=4.故函数的解析式为φμ,σ(x)=·e,x∈(-∞,+∞).利用正态分布的对称性求概率[例2] 设X~N(1,22),试求:(1)P(-1<X≤3);(2)P(3<X≤5).[解] 因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.(1)P(-1<X≤3)=P(1-2<X≤1+2)=P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6827.(
6、2)因为P(3<X≤5)=P(-37、=.2.已知随机变量X~N(2,σ2),若P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(X<
7、=.2.已知随机变量X~N(2,σ2),若P(Xc+1)=P(Xc+1)=P(X<
此文档下载收益归作者所有