二次函数综合(定值)问题与解析汇报

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1、实用标准文案成都市中考压轴题（二次函数）精选【例一】．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．考点：二次函数综合题．3718684专题：代数几何综合题．分析：（1）把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c，即可得解；（2

2、）根据抛物线解析式设出点A的坐标，然后求出AO、AM的长，即可得证；（3）①k=0时，求出AM、BN的长，然后代入+计算即可得解；②设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），然后表示出+，再联立抛物线与直线解析式，消掉未知数y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1•2，并求出x12+x22，x12•x22，然后代入进行计算即可得解．解答：（1）解：∵抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣1；（2）证明：设点A的坐标为（m，m2

3、﹣1），文档实用标准文案则AO==m2+1，∵直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，∴点M的纵坐标为﹣2，∴AM=m2﹣1﹣（﹣2）=m2+1，∴AO=AM；（3）解：①k=0时，直线y=kx与x轴重合，点A、B在x轴上，∴AM=BN=0﹣（﹣2）=2，∴+=+=1；②k取任何值时，设点A（x1，x12﹣1），B（x2，x22﹣1），则+=+==，联立，消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，x12•x22=16，∴

4、+===1，∴无论k取何值，+的值都等于同一个常数1．点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理以及点到直线的距离，根与系数的关系，根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标，然后用含有k的式子表示出+是解题的关键，也是本题的难点，计算量较大，要认真仔细．【例二】.如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点Ａ的坐标为（10，0），顶点B在第一象限内，且=3，sin∠OAB=.（1）若点C是点B关于x轴的对称点，求经过O、C、A三点的抛物线的函数表达式；（2）在(1)中，抛物线上是否存在一点P，

5、使以P、O、C、A为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将点O、点A分别变换为点Q（-2k,0）、点R（5k，0）（k>1的常数），设过Q、R两点，且以QR的垂直平分线为对称轴的抛物线与y轴的交点为N，其顶点为M，记△QNM的面积为，△QNR的面积文档实用标准文案，求∶的值.解：（1）如图，过点作于点．在中，yxFP3BECDAP2P1O，，．又由勾股定理，得．．点在第一象限内，点的坐标为．点关于轴对称的点的坐标为．2分设经过三点的抛物线的函数表达式为．由经过三点的抛物线的函数表达式为．2分（

6、2）假设在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形．①点不是抛物线的顶点，过点作直线的平行线与抛物线交于点．文档实用标准文案则直线的函数表达式为．对于，令或．而点，．在四边形中，，显然．点是符合要求的点．1分②若．设直线的函数表达式为．将点代入，得．．直线的函数表达式为．于是可设直线的函数表达式为．将点代入，得．．直线的函数表达式为．由，即．而点，．过点作轴于点，则．在中，由勾股定理，得．而．在四边形中，，但．点是符合要求的点．1分③若．设直线的函数表达式为．文档实用标准文案将点代入，得直线的函数表达式为．直线的函数表达

7、式为．由，即．而点，．过点作轴于点，则．在中，由勾股定理，得．而．在四边形中，，但．点是符合要求的点．1分综上可知，在（1）中的抛物线上存在点，使以为顶点的四边形为梯形．1分（3）由题知，抛物线的开口可能向上，也可能向下．yxQOGRMN①当抛物线开口向上时，则此抛物线与轴的负半轴交于点．可设抛物线的函数表达式为．即．如图，过点作轴于点．，文档实用标准文案，，．．．．2分②当抛物线开口向下时，则此抛物线与轴的正半轴交于点．同理，可得．1分综上可知，的值为．【例三】、如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数(为常数)的图象与x轴交于

8、点A(，0)，与y轴交于点C．以直线x=1为对称轴的抛物线(为常数，且≠0)经过A，C两点，并与x轴的正半轴交于点B．（1）求的值及抛物线的函数表达式；（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F．是否存在这样的点E，使得