高质量专业理论与实务讲义(二)

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1、实用文案（1）t分布：设x1，x2，…，xn是来自正态总体N（μ，σ2）的一个样本，则有：～N（μ，），对样本均值施行标准化变换，则有：～N（0，1），当用样本标准s代替上式中的总体标准差σ，则上式u变量改为t变量，标准正态分布N（0，1）也随之改为“自由度为n-1的t分布”，记为t（n-1），即：～t（n-1）。（2）χ2分布：自由度为n-1的χ2分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布。（3）F分布：设有两个独立的正态总体N（μ1，σ2）和N（μ2，σ2）,它们的方差相等。又设x1，x2，…，xn是来自N

2、（μ1，σ2）的一个样本；y1，y2，…，ym是来自N（μ2，σ2）的一个样本，两个样本相互独立。它们的样本方差比的分布是自由度为n-1和m-1的F分布，其中n-1称为分子自由度或第1自由度；m-1称为分母自由度或第2自由度。F分布的概率密度函数在正半轴上呈偏态分布。考点17：参数估计重点等级：※参数主要是指：①分布中的未知参数，如二项分布b(1，p)中的p，正态分布N（μ，σ2）中的μ,σ2或σ；②分布的均值E(X)、方差Var(X)等未知特征数；③其他未知参数，如某事件的概率P(A)等。上述未知参数都需

3、要根据样本和参数的统计含义选择适宜的统计量并作出估计。参数估计有两种基本形式：点估计与区间估计。考点18：点估计重点等级：※※※※1．点估计优良性标准无偏性是表示估计量优良性的一个重要标准，只要有可能，应该尽可能选用无偏估计量，或近似无偏估计量。有效性是判定估计量优良性的另一个标准。2．求点估计的方法--矩法估计由于均值与方差在统计学中统称为矩，总体均值与总体方差属于总体矩，样本均值与样本方差属于样本矩。获得未知参数的点估计的方法称为矩法估计。矩法估计简单而实用，所获得的估计量通常(尽管不总是如此)也有较好

4、的性质。但是应该注意到矩法估计不一定总是最有效的，而且有时估计也不唯一。3．正态总体参数的估计①正态均值μ无偏估计有两个，一个是样本均值，另一个是样本中位数；②正态方差σ2的无偏估计常用的只有一个，就是样本方差S2，即；③正态标准差σ的无偏估计也有两个，一个是对样本极差R＝x（n）-x（1）进行修偏而得，另一个是对样本标准差s进行修偏而得，具体是：，。考点19：区间估计重点等级：※※※※1．1-α置信区间的含义。所构造的随机区间[θL，θU]覆盖(盖住)未知参数θ的概率为1-α。由于这个随机区间随样本观测值

5、的不同而不同，它有时覆盖了参数θ，有时没有覆盖标准文档实用文案θ，但是用这种方法作区间估计时，100次中大约有100(1-α)个区间能覆盖未知参数θ。如果P（θ＜θL）＝P（θ＞θU）＝α/2，则称这种置信区间为等尾置信区间。2．正态总体参数的置信区间。①总体均值μ的置信区间的求法：μ的估计一般用样本均值，从的分布来构造置信区间。当总体标准差σ已知时，利用正态分布可得μ的1-α置信区间为：，今后也记为，其中是标准正态分布的1-分位数；②总体方差σ2与标准差σ的置信区间的求法：σ2的估计常用样本方差s2，因此

6、从s2的分布来构造置信区间。利用χ2（n-1）分布可以得到σ2的1-α置信区间为：，其中与分别是χ2（n-1）分布的分位数与1-分位数。将上式两边开平方，可得σ的1-α置信区间为。考点20：假设检验的基本思想与基本步骤重点等级：※※※※1．假设检验问题①这不是一个参数估计问题；②这里要求对命题“μ=x”作出回答：是与否；③这一类问题称为假设检验问题；④这类问题在质量管理中普遍存在。2．基本步骤（1）建立假设；（2）选择检验统计量，给出拒绝域分形式；（3）给出显著性水平α：在作判断中会犯错误，要允许犯错误，我

7、们的任务是控制犯错误的概率。在假设检验中，错误有两类。①拒真错误：原假设H0为真，但由于抽样的随机性，样本落在拒绝域W内，从而导致拒绝H0，其发生概率记为α，又称为显著性水平；②取伪错误：原假设H0不真，但由于抽样的随机性，样本落在内，从而导致接受H0，其发生概率为β。理论研究表明：①在相同样本量下，要使α小，必导致β大；②在相同样本量下，要使β小，必导致α大；③要使α、β皆小，只有增大样本量n才可达到，这在实际中有时并不可行。折中方案是：控制α，但不使α过小，在适当控制α中制约β。（4）确定临界值c，给出

8、拒绝域W：由标准正态分布N（0，1）的分位数性质知与标准文档实用文案互为相反数，即＝-，从而可得拒绝域W＝。（5）判断。考点21：正态均值µ的假设检验（σ已知情形）重点等级：※1．关于正态均值μ常用的三对假设。①H0:μ≤μ0，H1:μ＞μ0单侧假设检验问题；②H0:μ≥μ0，H1:μ＜μ0单侧假设检验问题；③H0:μ＝μ0，H1:μ≠μ0双侧假设检验问题。2．检验统计量都用u统计量，在μ＝μ0，～N（0，1）。