中级质量专业理论与实务讲义精选2

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1、第六讲常用分布(二)一、考试要求1•了解均匀分布及其均值、方差与标准差2.熟悉指数分布及其均值、方差和标准差3.了解对数正态分布及其均值、方差和标准差4.熟悉中心极限定理，样本均值的(近似)分布二、内容讲解(三)其他连续分布正态分布是实际中最常用的分布，但在实际中还有很多非正态的连续分布也很有用，在质量管理中最常用的是均匀分布、对数正态分布与指数分布，现分别介绍如下。1•均匀分布均匀分布在两端点a与b之间有一个恒定的概率密度函数，即在(a,b)上概率密度函数是一个常数，见图1.2-25(a),它的全称是〃在区间(a,b)上的均匀分布〃，常记为U(a,b)o这里〃均匀〃是指随机点

2、落在区间(a,b)内任一点的机会是均等的，从而在相等的小区间上的概率相等。(1.2-10)图1・2-25(3)即是Ub)的概率密度函数的图形。比如，若一随机变量X服从均匀分布U仃0,15),它的概率密度函数为：其图形U(10,15)(见图1.2-25⑹),则X在小区间(11,12)与小区间(12.5,13.5)上的面积相等，即：均匀分布U(a,b)的均值、方差与标准差分别为：(1.2-11)如图1.2-25(b)上所示的均匀分布U(10,15),它的均值、方差与标准差分别为：2.对数正态分布对数正态分布可用来描述很多随机变量的分布，如化学反应时间、绝缘材料被击穿的时间、产品维修

3、吋间等都是服从对数正态分布的随机变量。它们有如下共同特点：(1)这些随机变量都在正半轴(0,)上取值。(2)这些随机变量的大量取值在左边，少量取值在右边，并口很分散，这样的分布又称为〃右偏分布〃(见图1.2-26(a))o如机床维修屮，大量机床在短时间内都可修好，只有少量机床需要较长时间维修，个别机床可能需要相当长的修理时间。(3)最重要的特征是:若随机变量X服从对数正态分布，则经过对数变换Y=lnX(In是自然对数)后，随机变量Y服从正态分布。(4)若记正态分布的均值为，方差为，则相应的对数正态分布的均值与方差分别为(1.2-12)(5)为求对数正态变量X的有关事件的概率，经

4、过对数变换后可转化为求相应正态变量Y二lnX的相应事件的概率，如：见图1.2-26(a)与1.2-26(b)±的两块阴影面积。［例1.2-16］,略，见书第45页2.指数分布用以下指数函数表示的概率密度函数称为指数分布。其中的称为指数分布函数的参数，常记为。其概率密度函数的图形如图1.2-27所示。事件〃X在区间(a,b)上取值〃的概率为图1.2-27±阴影的面积，它的计算公式为：指数分布的参数的均值、方差与标准差分别为：［例1.2-17］某种热水器首次发生故障的时间T(单位：小时)服从参数二0.002的指数分布，它的概率密度函数与分布函数分别为：则该种热水器在300到500小

5、吋内需要维修的概率为:该种热水器首次发生故障的时间的均值与方差分别为：现将上述常用分布总结在表1.2-1常用分布表五、中心极限定理屮心极限定理叙述了统计屮的一个重要结论：多个相互独立随机变量的平均值(仍然是一个随机变量)服从或近似服从正态分布。为介绍这个定理先要作一项准备。(―)随机变量的独立性两个随机变量XI与X2相互独立是指其中一个的取值不影响另一个的取值,或者说是指两个随机变量独立地取值。比如，抛两颗骰子岀现的点数记为XI与X2,则XI与X2是相互独立的随机变量。随机变量的相互独立性可以推广到三个或更多个随机变量上去。以下要用到一个假定:〃儿是n个相互独立且服从相同分布的

6、随机变量〃。这个假定有两个含义：(1)是n个相互独立的随机变量，如在生产线上随机取n个产品，它们的质量特性用表示，那么可认为是n个相互独立的随机变量。(2)有相同的分布，且分布中所含的参数也都相同，比如，都为正态分布,口都有相同均值和相同方差。又如，若都为指数分布，那么其中的参数也都相同。今后，把n个相互独立且服从相同分布的随机变量的均值称为样本均值，并记为，即：(二)正态样本均值的分布定理1设是n个相互独立同分布的随机变量，假如其共同分布为正态分布,则样木均值仍为正态分布，其均值不变仍为，方差。这个定理表明：在定理1的条件下，正态样本均值服从正态分布。［例1.2-18］设是相

7、互独立同分布的随机变量，共同分布为正态分布Nd0,52),则其样本均值:服从。这表明：的均值仍为10,方差为25/9=2.78,的标准差为:（三）非正态样本均值的分布定理2（中心极限定理）设为n个相互独立同分布的随机变量，其共同分布不为正态或未知，但其均值和方差都存在，则在n相当大时，样木均值近似服从正态分布。这个定理表明：无论共同的分布是什么（离散分布或连续分布，正态分布或非正态分布），只要独立同分布随机变量的个数n相当大时，的分布总近似于正态分布，这一结论是深刻的，也是重要的，这说明平均