高中数学【配套word版文档】四42同角三角函数的基本

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1、§4.2　同角三角函数的基本关系式及诱导公式2014高考会这样考　1.考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；2.利用公式进行三角函数的化简与求值．复习备考要这样做　1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式，特别要对诱导公式的口诀理解透彻；2.通过训练加强公式运用能力的培养，寻找化简求值中的规律．1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：tanα＝.2．下列各角的终边与角α的终边的关系角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π－α－α＋α图示与角

2、α终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)－απ－απ＋α－α＋α正弦sin_α－sin_αsin_α－sin_αcos_αcos_α余弦cos_αcos_α－cos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tan_α－tan_α－tan_αtan_α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限[难点正本　疑点清源]1．同角三角函数关系式(1)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定．(2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间

3、的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法．2．诱导公式诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．1．(2011·大纲全国)已知α∈，tanα＝2，则cosα＝________.答案　－解析　∵tanα＝2，∴＝2，∴sinα＝2cosα.又sin2α＋cos2α＝1，∴(2cosα)2＋cos2α＝1，∴cos2α＝.又∵α∈，∴cosα＝－.2．若tanα＝2，则的值为________．答案　

4、解析　原式＝＝.3．已知α是第二象限的角，tanα＝－，则cosα＝________.答案　－解析　∵α是第二象限的角，∴cosα<0.又sin2α＋cos2α＝1，tanα＝＝－，∴cosα＝－.4．sinπ·cosπ·tan的值是________．答案　－解析　原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.5．已知cos＝，则sin＝________.答案　－解析　sin＝sin＝－sin＝－cos＝－.题型一　同角三角函数基本关系式的应用例1　已知在△ABC中，sinA＋cosA＝.(1)求sinAcosA的值；(2)判

5、断△ABC是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tanA的值．思维启迪：由sinA＋cosA＝及sin2A＋cos2A＝1，可求sinA，cosA的值．解　(1)∵sinA＋cosA＝①∴两边平方得1＋2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝－.(2)由sinAcosA＝－<0，且00，cosA<0，∴sinA－cosA>0，∴sinA－cosA＝.②∴由①，②可得sinA＝，cosA＝－，∴

6、tanA＝＝＝－.探究提高　(1)对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求．转化的公式为(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；(2)关于sinα，cosα的齐次式，往往化为关于tanα的式子．(1)已知tanα＝2，求sin2α＋sinαcosα－2cos2α；(2)已知sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，求cosα.解　(1)sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝＝＝.(2)∵sinα＝2sinβ，tanα＝3tanβ，∴sin2α＝4

7、sin2β，①tan2α＝9tan2β，②由①÷②得：9cos2α＝4cos2β，③①＋③得：sin2α＋9cos2α＝4，∵cos2α＋sin2α＝1，∴cos2α＝，即cosα＝±.题型二　三角函数的诱导公式的应用例2　(1)已知cos＝，求cos的值；(2)已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．思维启迪：(1)将＋α看作一个整体，观察＋α与－α的关系．(2)先化简已知，求出cosα的值，然后化简结论并代入求值．解　(1)∵＋＝π，∴－α＝π－.∴cos＝cos＝－cos＝－，即cos＝－.

8、(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－，∴cosα＝.∴sin(3π＋α)·tan＝sin(π＋α)·＝sinα·tan＝sinα·＝sinα·＝cosα＝.探究提高　熟练运用诱导公式和基本关