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《2019高中数学第二章圆锥曲线与方程抛物线的综合问题及应用（习题课）精练（含解析）北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题课--抛物线的综合问题及应用1.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为30°的直线,与抛物线交于A,B两点,若∈(0,1),则=( )A.B.C.D.解析:因为抛物线的焦点为,直线方程为y=x+,与抛物线方程联立得x2-px-p2=0,解方程得xA=-p,xB=p,所以.故选C.答案:C2.设抛物线y2=8x的准线与x轴相交于点Q,若过点Q的直线与抛物线有公共点,则此直线的斜率的取值范围是( )A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析:准线x=-2,Q(-2,0),设
2、y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,当k=0时,x=0,即交点为(0,0);当k≠0时,由Δ≥0,得-1≤k<0或00)上的两点,O为原点.若
3、OA
4、=
5、OB
6、,△AOB的垂心恰为抛物线的焦点F,则直线AB的方程是( )A.x=pB.x=3pC.x=pD.x=p解析:由抛物线的对称性,知A,B两点关于x轴对称.设A点坐标为(x1,y1),则B点坐标为(x1,-y1).抛物线y2=2px
7、(p>0)的焦点坐标为F,由F是△AOB的垂心,知AF⊥OB,因此kAFkOB=-1,即=-1.①由点A在抛物线上,得=2px1.②将②代入①,得x1=,故直线AB的方程为x=p.答案:D4.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是 . 解析:依题意可知,机器人行进的轨迹方程为y2=4x.设斜率为k的直线方程为y=k(x+1),联立消去y,得k2x2+(2k2-4)x+k2=0.由Δ=(2k
8、2-4)2-4k4<0,得k2>1,解得k<-1或k>1.答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)5.已知过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,
9、AF
10、=2,则
11、BF
12、= . 解析:设点A,B的横坐标分别是x1,x2,则依题意有焦点F(1,0),
13、AF
14、=x1+1=2,x1=1,直线AF的方程是x=1,此时弦AB为抛物线的通径,故
15、BF
16、=
17、AF
18、=2.答案:26.导学号01844020过点P(2,2)作抛物线y2=3x的弦AB,恰被P所平分,则AB所在的直线方程为 . 解析:方法一
19、:设以P为中点的弦AB端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有=3x1,①=3x2,②x1+x2=4,y1+y2=4.③①-②,得(y1+y2)(y1-y2)=3(x1-x2).④将③代入④得y1-y2=(x1-x2),即,∴k=.∴所求弦AB所在直线方程为y-2=(x-2),即3x-4y+2=0.方法二:设弦AB所在直线方程为y=k(x-2)+2.由消去x,得ky2-3y-6k+6=0,此方程的两根就是线段端点A,B两点的纵坐标,由韦达定理和中点坐标公式,得y1+y2=,又y1+y2=4,∴k=.∴
20、所求弦AB所在直线方程为3x-4y+2=0.答案:3x-4y+2=07.已知P,Q为抛物线x2=2y上两点,点P,Q的横坐标分别为4,-2,过P,Q分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A的纵坐标为 . 解析:由于P,Q为抛物线x2=2y,即y=x2上的点,且横坐标分别为4,-2,则P(4,8),Q(-2,2),从而在点P处的切线斜率k1=4.据点斜式,得曲线在点P处的切线方程为y-8=4(x-4);同理,曲线在点Q处的切线方程为y-2=-2(x+2).将这两个方程联立,解得交点A的纵坐标为-4.答案
21、:-48.导学号01844021抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135°的直线,被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线方程.解如图所示,依题意设抛物线方程为y2=2px(p>0),则直线方程为y=-x+p.设直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得
22、AB
23、=
24、AF
25、+
26、FB
27、=
28、AC
29、+
30、BD
31、=x1++x2+,即x1++x2+=8.①又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点,由消去y,得x2-3px+=0,∴x1+x2=3p.将其代入①得p=2,∴
32、所求抛物线方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px时,同理可求得抛物线方程为y2=-4x.9.导学号01844022如图,设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB.求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.解点A,B在抛物线y2=4px上设A,B,OA,OB的斜率分别为kOA,kOB,所以kOA=,kOB=,由OA⊥OB,得kOA·
