2019高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线 2.2.2 抛物线的简单性质精练（含解析）北师大版选修1 -1

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1、2.2　抛物线的简单性质A组1.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为(　　)A.a>0时为(0,a),a<0时为(0,-a)B.a>0时为,a<0时为C.(0,a)D.解析:a>0时,x2=4ay的焦点为(0,a);a<0时,x2=4ay的焦点为(0,a),这时焦点在y轴负半轴上.故不论a为何值,x2=4ay的焦点总为(0,a),故选C.答案:C2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(　　)A.B.C.1D.2解析:设AB的中点为M,焦点为F(0,1).过M作准线l:y=-1的垂线MN,过A作AC⊥l于C,过B作BD

2、⊥l于D,则

3、MN

4、==3,所以AB中点到x轴的最短距离为3-1=2,此时动弦AB过焦点,故选D.答案:D3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)A.(6,+∞)B.[6,+∞)C.(3,+∞)D.[3,+∞)解析:∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,∴=3,即p=6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为,∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞).答案:D4.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、

5、FM

6、为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是(　　)A.(

7、0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,抛物线C的准线方程为y=-2,由圆与准线相交知416,所以8y0+(y0-2)2>16,即有+4y0-12>0,解得y0>2或y0<-6,又因为y0≥0,所以y0>2,故选C.答案:C5.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则

8、OM

9、=(　　

10、)A.2B.2C.4D.2解析:由于抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点且经过点M(2,y0),可设方程为y2=2px,由点M到抛物线焦点的距离为3,则由抛物线定义得2+=3,解得p=2,则y2=4x,又M(2,y0)在抛物线y2=4x上,则=8,

11、OM

12、==2.答案:B6.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么

13、PF

14、=(　　)A.4B.8C.8D.16解析:设A(-2,y),F(2,0),所以kAF==-,所以y=4,所以yP=4.因为点P在抛物线上,所以=8xP,所以xP==6.由抛物

15、线定义可得

16、PF

17、=

18、PA

19、=xP-xA=6-(-2)=8.答案:B7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为　　　　　. 解析:由抛物线的几何性质,从焦点发出的光线经抛物线反射后与x轴平行及直线y=-2平行于x轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.答案:x=-28.一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=ax上,另一个顶点在坐标原点,如果这个三角形的面积为36,则a=　　　　　. 解析:设正三角形边长为x.由题意得,36x2sin60°,∴x=12.当a>0时,将(6,6)代入y2=ax,得

20、a=2.当a<0时,将(-6,6)代入y2=ax,得a=-2,故a=±2.答案:±29.导学号01844017如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?解如图所示.(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),因为点C(5,-5)在抛物线上

21、,所以该抛物线的方程为x2=-5y.(2)设车辆高为h,则

22、DB

23、=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.B组1.(2015全国卷Ⅰ高考)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则

24、AB

25、=(　　)A.3B.6C.9D.12解析:∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),∴E的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E的方程为=1(a>b>0),∴c=2.∵,∴a=4.∴b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为=1

26、.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3)