2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2 抛物线的简单性质（第1课时）抛物线的简单性质学案（含解析）北师大版选修1 -1

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1、第1课时　抛物线的简单性质学习目标　1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题．知识点一　抛物线的简单性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形性质范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点A，B，线段AB叫抛物线的通径，长度

2、AB

3、＝2p知识点二　

4、焦点弦设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y2＝2px(p>0)

5、AB

6、＝x1＋x2＋py2＝－2px(p>0)

7、AB

8、＝p－(x1＋x2)x2＝2py(p>0)

9、AB

10、＝y1＋y2＋px2＝－2py(p>0)

11、AB

12、＝p－(y1＋y2)1．抛物线有一个顶点，一个焦点，一条对称轴，一条准线，一条通径．(　√　)2．当抛物线的顶点在坐标原点时，其方程是标准方程．(　×　)3．抛物线的离心率均为1，所以抛物线形状都相同．(　×　)4．焦准距p决定抛物线的张口大小，即决定抛物线

13、的形状．(　√　)题型一　抛物线的简单性质例1　已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，

14、OA

15、＝

16、OB

17、，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．考点　抛物线的简单性质题点　焦点、准线、对称性的简单应用解　(1)抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)如图所示，由

18、OA

19、＝

20、OB

21、可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦

22、点F是△OAB的重心，则

23、OF

24、＝

25、OM

26、.因为F(2,0)，所以

27、OM

28、＝

29、OF

30、＝3，所以M(3,0)．故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24；所以m＝2或m＝－2，所以A(3,2)，B(3，－2)，所以

31、OA

32、＝

33、OB

34、＝，所以△OAB的周长为2＋4.反思感悟　把握三个要点确定抛物线的简单性质(1)开口：由抛物线标准方程看图像开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴

35、的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.跟踪训练1　等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2＝2px(p>0)，O为抛物线的顶点，OA⊥OB，则△AOB的面积是(　　)A．8p2B．4p2C．2p2D．p2考点　抛物线的简单性质题点　焦点、准线、对称性的简单应用答案　B解析　因为抛物线的对称轴为x轴，内接△AOB为等腰直角三角形，所以由抛物线的对称性知，直线AB与抛物线的对称轴垂直，从而直线OA与x轴的夹角为45°.由方程组得或不妨设A，B两点的坐标分别为(2p,2p)和(2p，－2p)．所以

36、AB

37、

38、＝4p，所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2.题型二　抛物线的焦点弦问题例2　已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．若直线l的倾斜角为60°，求

39、AB

40、的值．考点　抛物线的焦点弦问题题点　求抛物线的焦点弦长解　因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan60°＝.又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y，得x2－5x＋＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，所以

41、AB

42、＝

43、AF

44、＋

45、BF

46、＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝5＋3＝8.反思感悟

47、　1.解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．2．设直线方程时要特别注意斜率不存在的直线应单独讨论．跟踪训练2　已知抛物线方程为y2＝2px(p>0)，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于A，B两点，且

48、AB

49、＝p，求AB所在直线的方程．考点　抛物线的焦点弦问题题点　知抛物线焦点弦长求方程解　由题意可知，焦点F.设A(x1，y1)，B(x2，y2)．若AB⊥x轴，则

50、AB

51、＝2p≠p，不合题意，故直线AB的斜率

52、存在，设为k，则直线AB的方程为y＝k.联立消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝－p2.∴

53、AB

54、＝＝·＝2p＝p，解得k＝±2，∴AB所在直线方程为y＝2或y＝－2.题型三　与抛物线有关的最值问题例3　设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F为抛物线的焦点．(1)求点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值；(2)若点B的坐标为(3,2)，求

55、PB

56、＋

57、PF

58、的最小值．考点　抛物线的定义题点　由抛物线的定义求最值