2018-2019学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 抛物线的简单性质(一)作业1 北师大版选修1 -1

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1、2.2.2抛物线的简单性质(一)[基础达标]1.顶点在原点,关于y轴对称,并且经过点M(-4,5)的抛物线方程为(  )A.y2=xB.y2=-xC.x2=yD.x2=-y解析:选C.由题设知,抛物线开口向上,设方程为x2=2py(p>0),将(-4,5)代入得p=,所以,抛物线方程为x2=y.2.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值为(  )A.2B.3C.4D.0解析:选B.z=x2+×4x+3=(x+1)2+2,∵x≥0,∴x=0时,z有最小值,zmin=3.3.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一

2、点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心,

3、FM

4、为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是(  )A.(0,2)B.[0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)解析:选C.圆心到抛物线准线的距离为p=4,根据已知只要

5、FM

6、>4即可,根据抛物线定义,

7、FM

8、=y0+2,由y0+2>4,解得y0>2,故y0的取值范围是(2,+∞).4.若抛物线x2=2y上距离点A(0,a)的最近点恰好是抛物线的顶点,则a的取值范围是(  )A.a>0B.0

9、PA

10、2=d2=x2+

11、(y-a)2=2y+(y-a)2=y2-(2a-2)y+a2=[y-(a-1)]2+(2a-1).∵y∈[0,+∞),根据题意知,(1)当a-1≤0,即a≤1,y=0时,d=a2.这时dmin=

12、a

13、.(2)当a-1>0,即a>1时,y=a-1时d2取到最小值,不符合题意.综上可知a≤1.5.已知抛物线y=x2上有一定点A(-1,1)和两动点P、Q,当PA⊥PQ时,点Q的横坐标取值范围是(  )A.(-∞,-3]B.[1,+∞)C.[-3,1]D.(-∞,-3]∪[1,+∞)解析:选D.设P(x0,x),Q(x,x2),其中x0≠-1,x≠x

14、0,则=(-1-x0,1-x),=(x-x0,x2-x),∵PA⊥PQ,∴·=0.∴-(1+x0)(x-x0)+(1-x)(x2-x)=0,即-1+(1-x0)(x+x0)=0,∴x=-x0+=(1-x0)+-1,当x0<1时,1-x0+≥2.∴x≥2-1=1;当x0>1时,1-x0+=-[(x0-1)+]≤-2,∴x≤-2-1=-3,故Q横坐标的取值范围是(-∞,-3]∪[1,+∞).6.已知抛物线顶点为坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点M(m,-2)到焦点的距离为4,则m=________.解析:由已知,可设抛物线方程为x2=-2py(

15、p>0).由抛物线定义有2+=4,∴p=4,∴x2=-8y.将(m,-2)代入上式,得m2=16.∴m=±4.答案:±47.已知直线y=k(x-2),(k>0)与抛物线y2=8x相交于A、B两点,F为抛物线的焦点,若

16、FA

17、=3

18、FB

19、,则k的值为________.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),易知x1>0,x2>0,y1>0,y2<0.由,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0,∴x1x2=4. ①又

20、AF

21、=x1+2,

22、BF

23、=x2+2且

24、AF

25、=3

26、FB

27、,∴x1=3x2+4, ②由①②解得x2=,∴B(,-),代入y=

28、k(x-2)得k=.答案:8.已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y+y的最小值是________.解析:若k不存在,则y+y=32.若k存在,设直线AB的斜率为k,当k=0时,直线AB的方程为y=0,不合题意,故k≠0.由题意设直线AB的方程为y=k(x-4)(k≠0),由得ky2-4y-16k=0,∴y1+y2=,y1y2=-16.∴y+y=(y1+y2)2-2y1y2=+32>32.∴y+y的最小值为32.答案:329.抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为

29、135°的直线被抛物线截得的弦长为8,试求抛物线的方程.解:如图,设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点为F,所以直线方程为y=-.设直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),则根据抛物线的定义,得

30、AB

31、=

32、AF

33、+

34、BF

35、=

36、AC

37、+

38、BD

39、=x1++x2+,即x1+x2+p=8.联立方程组消去y,得x2-3px+=0,∴x1+x2=3p,∴3p+p=8,即p=2.∴所求抛物线的方程为y2=4x.当抛物线方程设为y2=-2px(p>0)时,同理可以求得抛物线的方程为y2=-4x.综上,抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x

40、.10.设点P(x,y)(y≥0)为平面直角坐标系xOy中的一个动点(其中O为坐标原点),点P到定点M(0,)的距离比点P到x轴的距离大.(1)求点P的轨迹方程;(

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