高考数学复习第九章平面解析几何第1节直线的方程学案文新人教a版

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1、第1节 直线的方程最新考纲 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系.知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l与x轴相交时,我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.(2)规定:当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(3)范围:直线的倾斜角α的取值范围是[0,π).2.直线的斜率(1)定义:当直线l的倾斜角α≠时,其倾斜角

2、α的正切值tanα叫做这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,即k=tan_α.(2)斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率y=kx+b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y-y0=k(x-x0)两点式过两点=与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距+=1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax+By+C=0(A2+B2≠0)所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k之间的对应关系:α0°0°<α<90°90°90°<α<18

3、0°k0k>0不存在k<02.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在;每条直线都有倾斜角,但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数,既可以为正数,也可以为负数,还可以为0,这是解题时容易忽略的一点.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.(  )(2)直线的斜率为tanα,则其倾斜角为α.(  )(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.(  )(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  )解析 (1)当直线的

4、倾斜角α1=135°,α2=45°时,α1>α2,但其对应斜率k1=-1,k2=1,k1<k2.(2)当直线斜率为tan(-45°)时,其倾斜角为135°.(3)两直线的斜率相等,则其倾斜角一定相等.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(2018·衡水调研)直线x-y+1=0的倾斜角为(  )A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题得,直线y=x+1的斜率为1,设其倾斜角为α,则tanα=1,又0°≤α<180°,故α=45°,故选B.答案 B3.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过(  )A.第一象限B.第二象

5、限C.第三象限D.第四象限解析 由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.答案 C4.(必修2P89B5改编)若过两点A(-m,6),B(1,3m)的直线的斜率为12,则直线的方程为________.解析 由题意得=12,解得m=-2,∴A(2,6),∴直线AB的方程为y-6=12(x-2),整理得12x-y-18=0.答案 12x-y-18=05.(必修2P100A9改编)过点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程为________.解析 当纵、横截距均为0时,直线方程为3x-2y=0

6、;当纵、横截距均不为0时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=5.所以直线方程为x+y-5=0.答案 3x-2y=0或x+y-5=0考点一 直线的倾斜角与斜率(典例迁移)【例1】(1)直线2xcosα-y-3=0的倾斜角的取值范围是(  )A.B.C.D.(2)(一题多解)(经典母题)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l斜率的取值范围为________.解析 (1)直线2xcosα-y-3=0的斜率k=2cosα,因为α∈,所以≤cosα≤,因此k=2·cosα∈[1,].设直线的倾斜角为θ,则有tanθ∈[1,]

7、.又θ∈[0,π),所以θ∈,即倾斜角的取值范围是.(2)法一 设PA与PB的倾斜角分别为α,β,直线PA的斜率是kAP=1,直线PB的斜率是kBP=-,当直线l由PA变化到与y轴平行的位置PC时,它的倾斜角由α增至90°,斜率的取值范围为[1,+∞).当直线l由PC变化到PB的位置时,它的倾斜角由90°增至β,斜率的变化范围是(-∞,-].故斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞).法二 设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0.∵A,B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上,∴(2k-1-k)(--k)≤0,即(k-1)(k+

8、)≥0,解

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