2018年秋高中数学 随机变量及其分布2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教a版

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1、2.3.2　离散型随机变量的方差学习目标：1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)[自主预习·探新知]1．离散型随机变量的方差、标准差(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随

2、机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．4．离散型随机变量方差的线性运算性质设a，b为常

3、数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值；(　　)(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平；(　　)(3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平．(　　)(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．(　　)[解析]　(1)×　因为离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．(2)×　因为离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．(3)√　由方差的意义可知．(4)×　离散型随机变量的方差

4、越大，说明随机变量的稳定性越差，方差越小，稳定性越好．[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×2．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为(　　)【导学号：95032190】A．0.25　0.5　　　　　　B．0.5　0.75C．0.5　0.25D．1　0.75C　[E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为________．　[ξ的标准差＝＝.]4．已知随机变量ξ的分布列如下表：ξ－101P则ξ的均值为________，方差为____

5、____.【导学号：95032191】－　　[均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×＋0×＋1×＝－；方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝.][合作探究·攻重难]求随机变量的方差与标准差　已知X的分布列如下：X－101Pa(1)求X2的分布列；(2)计算X的方差；(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．[解]　(1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为X201P(2)法一：(直接法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.故X的方差D(X)＝

6、×＋×＋×＝.法二：(公式法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.[规律方法]　方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．[跟踪训练]1．已知η的分布列为：η010205060P(1)求η

7、的方差及标准差；(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．[解]　(1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，∴＝8.(2)∵Y＝2η－E(η)，∴D(Y)＝D(2η－E(η))＝22D(η)＝4×384＝1536.两点分布与二项分布的方差　设X的分布列为P(X＝k)＝C(k＝0,1,2,3,4,5)，则D(3X)＝(　　)【导学号：95032192】A．10　　　　　　　B．30C．15D．5A　[由P(X＝k)＝C(k＝0,1,2

8、,3,4,