单元超静定结构的计算

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1、单元10 超静定结构的计算【学习目标】1、掌握力法、位移法的基本原理，能用这些方法计算常用的简单超静定结构的内力；2、熟练应用力矩分配法计算连续梁和无侧位移刚架；了解超静定结构的特征。【知识点】1、超静定结构的概念、超静定次数及确定；力法的基本原理、基本结构；典型方程；用力法计算简单的超静定梁和刚架；支座移动时单跨超静定梁的内力。2、力矩分配法的基本原理；转动刚度、分配系数、传递系数、分配弯矩、传递弯矩；用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。【工作任务】任务1 用力法计算超静定结构任务2 用力矩分配法计算超静定结构【教学设计】通过对力法和力矩分配法的学习让学生理解这两种方法在解

2、决超静定结构各有何特点，通过例题的讲解能使学生能更好地理解两种方法在解超静定结构的特点。10.1   用力法计算超静定结构10.1.1 超静定次数的确定            我们知道，超静定结构由于有多余约束存在，约束反力未知量的数目多于平衡方程数目，仅靠平衡方程不能确定结构的支座反力。从几何组成方面来说，结构的超静定次数就是多余约束的个数；从静力平衡看，超静定次数就是运用平衡方程分析计算结构未知力时所缺少的方程个数，即多余未知力的个数。所以，要确定超静定次数，可以把原结构中的多余约束去掉，使之变成几何不变的静定结构，而去掉的约束个数就是结构的超静定次数。   超静定结构去

3、掉多余约束有以下几种方法：  (1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一个约束。图10-1  (2)去掉一个铰支座或者去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。图10-2图10-1图10-2            (3)去掉一个固定端支座或者切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束。图10-3   (4)将一个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接，相当于去掉一个约束。图图10-4用去掉多余约束的方法可以确定任何超静定结构的次数，去掉多余约束后的静定结构，称为原超静定结构的基本结构。对于同一个超静定结构来说，去掉多余约束可以有多种方法，所以基本结构也有多种形式。但不

4、论是采用哪种形式，所去掉的多余约束的数目必然是相同的。图10-5(b)、(c)为去掉多余约束的基本结构，一个是悬臂梁，一个是简支梁，都是原结构的基本结构，它们去掉的多余约束都是三个。   这里要强调的是，基本结构必须是几何不变的静定结构，如图所示的刚架，如果去掉一个支座处的链杆的瞬变体系，是不允许的。图10-3图10-4图10-510.1.2力法的基本原理         这里通过对图10-6所示一次超静定梁的分析，来说明力法的基本原理。图10-6            把支座B链杆当多余约束去掉，选取图所示的静定悬臂梁为基本结构。为保持基本结构受力状态和原结构的一致，B支座

5、处的支座反力用x1代替，称为基本未知量。同时，基本结构B支座处的几何变形要保持和原来状态一致，即竖向位移为零：△=0   基本结构和原结构的受力状况是完全一致的，如果能够求出基本结构上的基本未知量，再利用静力平衡方程求出其余的支座反力，则结构的内力也就可以全部求解出，这就是力法分析的基本思路。   下面先介绍求解基本未知量的方法。   利用叠加方法，把基本结构中的竖向位移△分为两部分位移，即   其中△1P表示基本结构在荷载作用下B点沿x1方向的位移，△11表示基本结构在X1作用下B点沿X1方向的位移，如上图10-6（c）（d）所示。    由于结构的变形在弹性变形范围内，设

6、为基本结构在X1=1作用下B点沿X1方向的位移，则△1l可以表示为：△1l=.X1代入公式得到：    由于基本结构为静定结构，根据前面静定结构求位移的方法，可以利用图乘法求出上式中的△1P和，下图10-7所示为基本结构在荷载P及单位荷载X1=1分别作用下的弯矩图，称为Mp，，则：   所得结果为正，说明X1的实际方向与基本结构中假设的方向相同。   求得X1后，原超静定结构的弯矩图M可利用已经绘出的MP图和图，按叠加原理绘出，即M=MP+X1原结构弯矩图如图。图10-7   综上所述，力法的基本原理就是以多余约束的约束反力作为基本未知量，以去掉多余约束的基本结构为研究对象，

7、根据多余约束处的几何位移条件建立力法基本方程，求解出多余约束反力，然后求解出整个超静定结构的内力。用这一方法可以求解任何超静定结构。10.1.3 力法典型方程            上面讨论了一次超静定结构的力法原理，下面以一个三次超静定结构来说明力法解超静定结构的典型方程。   下图10-8所示为一个三次超静定刚架，荷载作用下结构的变形如图中虚线所示。这里我们取基本结构如图（b）所示，去掉固定支座C处的多余约束，用基本未知量X1、X2、X3代替。图10-8由于原结构C为固定支座，其线位移和转角位移都为