2018年高中数学第一章解三角形阶段复习课第1课解三角形学案新人教a版

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1、第一课　解三角形[核心速填]1．正弦定理(1)公式表达：＝＝＝2R.(2)公式变形：①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；④＝＝＝＝2R.2．余弦定理(1)公式表达：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.(2)推论：cosA＝，cosB＝，cosC＝.3．三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bcsinA＝acsinB＝absin

2、C；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[体系构建][题型探究]利用正、余弦定理解三角形　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若△ABC的面积S＝，求角A的大小.【导学号：91432090】[解]　(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0

3、－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由S＝，得absinC＝，故有sinBsinC＝sin2B＝sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinC＝cosB，又B，C∈(0，π)，所以C＝±B.当B＋C＝时，A＝；当C－B＝时，A＝.综上，A＝或A＝.[规律方法]　解三角形的一般方法：,(1)已知两角和一边，如已知A、B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a、b.(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π

4、，求另一角.(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况.(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.[跟踪训练]1．如图11，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝.图11(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．[解]　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝

5、×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×＝49.所以AC＝7.判断三角形的形状　在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．思路探究：利用正弦定理将已知条件中边的关系，转化为角的关系求角或利用余弦定理，由三边之间的关系确定三角形的形状．[解]　法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.∵B＝60°，∴A＋C＝120°.∴2sin60°＝sin(120°－C)＋si

6、nC.展开整理得sinC＋cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1.∵0°

7、的形状是高考中考查能力的常见题型，此类题目要求准确地把握三角形的分类，三角形按边的关系分为等腰三角形和不等边三角形；三角形按角的关系分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.[跟踪训练]2．在△ABC中，若＝，试判断△ABC的形状.【导学号：91432091】[解]　由已知＝＝＝，得＝.可有以下两种解法．法一：(利用正弦定理，将边化角)由正弦定理得＝，∴＝，即sinCcosC＝sinBcosB，即sin2

8、C＝sin2B.∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°.即B＝C或B＋C＝90°.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理，将角化边)∵＝，∴由余弦定理得＝，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．∴a2c2－c4＝a2b