高中数学 第一章 解三角形章末复习课学案 新人教A版必修.doc

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1、第一章解三角形学习目标　1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形．3．能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.知识点一　正弦定理及其推论设△ABC的外接圆半径为R，则(1)＝＝＝2R.(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝.(4)在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin_A>sin_B.知识点二　余弦定理及其推论1．a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.2．cosA＝；cosB＝；cosC＝.

2、3．在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

3、)已知两边和这两边的夹角，如已知a、b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a、b、c，可应用余弦定理求A、B、C.跟踪训练1　如图，在△ABC中，∠B＝，AB＝8，点D在BC边上，CD＝2，cos∠ADC＝.(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．解　(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，所以sin∠ADC＝.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠

4、ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.(2)在△ABD中，由正弦定理，得BD＝＝＝3.在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BC×cosB＝82＋52－2×8×5×＝49，所以AC＝7.类型二　三角变换与解三角形的综合问题命题角度1　三角形形状的判断例2　在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．解　∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]，∴2b2sinAcosB＝2a2cosA

5、sinB，即a2cosAsinB＝b2sinAcosB.方法一　由正弦定理知a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴sin2AcosAsinB＝sin2BsinAcosB，又sinAsinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB，∴sin2A＝sin2B.在△ABC中，0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．方法二　由正弦定理、余弦定理，得a2b×＝b2a×，∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2－b2＝0或a2＋b2－c2＝0.即a＝b或a2＋

6、b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形命题角度2　三角形边、角、面积的求解例3　△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcosC＋csinB.(1)求B；(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．解　(1)由正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.得2RsinA＝2RsinBcosC＋2RsinCsinB即sinA＝sinBcosC＋sinCsinB.又A＝π－(B＋C)，∴sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋sinCsinB，即sinBcosC＋cosBsinC＝sinBcosC＋sinCsinB，∴cosBsi

7、nC＝sinCsinB.∵sinC≠0，∴cosB＝sinB且B为三角形内角，∴B＝.(2)S△ABC＝acsinB＝ac，由正弦定理，a＝＝×sinA＝2sinA，同理，c＝2sinC，∴S△ABC＝×2sinA×2sinC＝2sinAsinC＝2sinAsin(－A)＝2sinA(sinπcosA－cosπsinA)＝2(sinAcosA＋sin2A)＝sin2A＋1－cos2A＝sin(2A－)＋1∴当2A－＝，即A＝时，S△