浙江2020版高考数学第五章三角函数、解三角形5.6正弦定理和余弦定理讲义（含解析）

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1、§5.6　正弦定理和余弦定理最新考纲考情考向分析掌握正弦定理、余弦定理及其应用.以利用正弦、余弦定理解三角形为主，常与三角函数的图象和性质、三角恒等变换、三角形中的几何计算交汇考查，加强数形结合思想的应用意识．题型多样，中档难度.1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)＝＝＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，

2、c＝2RsinC；(4)sinA＝，sinB＝，sinC＝；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝；cosB＝；cosC＝2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAb解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内

3、切圆半径)．概念方法微思考1．在△ABC中，∠A>∠B是否可推出sinA>sinB?提示　在△ABC中，由∠A>∠B可推出sinA>sinB.2．如图，在△ABC中，有如下结论：bcosC＋ccosB＝a.试类比写出另外两个式子．提示　acosB＋bcosA＝c；acosC＋ccosA＝b.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．(　×　)(2)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．(　×　)(3)在△ABC中，＝.(　√　)(4

4、)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．(　√　)题组二　教材改编2．[P10B组T2]在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为．答案　等腰三角形或直角三角形解析　由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．3．[P18T1]在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积为．答案　2解析　∵＝，∴sinB＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝×2×

5、2＝2.题组三　易错自纠4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c0，∴cosB<0，∴B为钝角，故△ABC为钝角三角形．5．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个

6、数不确定答案　C解析　由正弦定理得＝，∴sinB＝＝＝>1.∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．6．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则C＝.答案　解析　由3sinA＝5sinB及正弦定理，得3a＝5b.又因为b＋c＝2a，所以a＝b，c＝b，所以cosC＝＝＝－.因为C∈(0，π)，所以C＝.题型一　利用正、余弦定理解三角形例1(2018·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acos.(1)求角B的大小；(2)设a

7、＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解　(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsinA＝asinB.又由bsinA＝acos，得asinB＝acos，即sinB＝cos，所以tanB＝.又因为B∈(0，π)，所以B＝.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝.由bsinA＝acos，可得sinA＝.因为a

8、inB＝×－×＝.思维升华(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素；(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系