（浙江专用）高考数学第四章三角函数、解三角形第七节正弦定理和余弦定理教案（含解析）

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1、第七节正弦定理和余弦定理1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容＝＝＝2R，(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcos_C变形形式(边角转化)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝，sinB＝，sinC＝；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_CcosA＝；cosB＝；cosC＝2．三角形中常用的面积公式(1)S＝ah(h表示边a上的高)；(2)S＝bcsinA＝acsinB＝

2、absinC；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．[小题体验]1．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)A．2　　　　　　　　　B．1C.D．解析：选D　由正弦定理，得b＝＝＝.2．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c.若2asinB＝b，则角A等于(　　)A.B.C.D.答案：A3．在△ABC中，a＝3，b＝2，cosC＝，则△ABC的面积为________．答案：41．由正弦定理解已知三角形的两边和其中

3、一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断．2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．[小题纠偏]1．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A＝120°，a＝2，b＝，则B等于(　　)A．60°　B．150°C．30°或150°D．30°解析：选D　∵A＝120°，a＝2，b＝，∴由正弦定理＝可得，sinB＝sinA＝×＝.∵A＝120°，∴B＝30°.2．设△ABC的内角

4、A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2，c＝2，cosA＝且b＜c，则b＝(　　)A．3B．2C．2D．解析：选C　由a2＝b2＋c2－2bccosA，得4＝b2＋12－6b，解得b＝2或4.又b＜c，∴b＝2.[典例引领]1．(2018·兰州实战考试)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac，c＝2a，则cosC＝(　　)A．　　　　　　　　　　B．－C．D．－解析：选B　由题意得，b2＝ac＝2a2，即b＝a，∴cosC＝＝＝－，故选B.2．(2018·“超级全能生”

5、联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c＝2b.若sinC＝，则sinB＝________；若b2＋bc＝2a2，则cosB＝________.解析：因为c＝2b，所以sinC＝2sinB＝，所以sinB＝.因为c＝2b，所以b2＋bc＝3b2＝2a2，所以a＝b.所以cosB＝＝＝.答案：　[由题悟法](1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有

6、可能用到．(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时应用]设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．解：(1)∵bsinA＝acosB，由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝，∴B＝.(2)∵sinC＝2s

7、inA，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acos，解得a＝，∴c＝2a＝2.[典例引领]1．(2018·贵阳监测)在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2＝，则△ABC的形状一定是________．解析：由题意，得＝，即cosB＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．答案：直角三角形2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2

8、c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．解：(1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－，又A∈(0，π)，所以A＝.(2)由(1)得，sinB＋sinC＝sinB＋sin＝sinB＋cosB－sinB＝cosB＋sinB＝sin＝1，因为0＜B＜，所以B＋＝，即B＝，C＝，所以△ABC是等腰钝角三角形．[类题通法]判定三角形形状的2种常