高考数学第3章三角函数、解三角形第6节正弦定理和余弦定理教学案含解析.docx

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1、第六节　正弦定理和余弦定理[考纲传真]　掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式＝＝＝2R.(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bc·cos_A；b2＝c2＋a2－2ca·cos_B；c2＝a2＋b2－2ab·cos_C公式变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(3)sinA＝，sinB＝，sinC＝cosA＝；cosB＝；cosC＝2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜b

2、a≥ba＞b解的个数一解两解一解一解3.三角形常用面积公式(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA；(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC；(2)sin＝cos；(4)cos＝sin.3．在△ABC中，sinA＞sinB⇔A＞B⇔a＞b，cosA＞cosB⇔A＜B⇔a＜b.4．三角形射影定理a＝bcosc＋ccosBb＝acosC＋ccosAc＝acosB＋bcosA5．三角形中

3、任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，若A＞B，则必有sinA＞sinB．()(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形．()(3)在△ABC中，若A＝60°，a＝4，b＝4，则B＝45°或135°.()(4)在△ABC中，＝.()[解析]　(1)正确．A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.(2)错误．由cosA＝＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．(3)错误．由b＜a知，B＜A.(4)正确．利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，可

4、知结论正确．[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定C　[由正弦定理，得＝sinA，＝sinB，＝sinC，代入得到a2＋b2＜c2，由余弦定理得cosC＝＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角三角形．]3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，c＝2，cosA＝，则b＝()A.B.C．2　D．3D　[由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×，解得b＝3或b＝－(舍去)，故选D.]4．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c

5、＝6，则a等于()A．3　B．6C．2　D．3B　[由正弦定理得＝，所以a＝＝＝6.]5．(教材改编)在非钝角△ABC中，2bsinA＝a，则角B为()A.　B.C.　D.C　[由2bsinA＝a得2sinBsinA＝sinA.∴sinB＝，又B是锐角或直角．∴B＝.]利用正、余弦定理解三角形【例1】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝()A．4B.　C.　D．2(2)(2019·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，则A等于()A.B.C.D.(1)A　(2)C　[(1)因为cos

6、＝，所以cosC＝2cos2－1＝2×2－1＝－.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×－＝32，所以AB＝4.故选A.(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝2b2－2b2cosA.又a2＝2b2(1－sinA)，所以sinA＝cosA，即tanA＝1，又A是三角形内角，则A＝，故选C.][规律方法]　应用正弦、余弦定理的解题技巧(1)求边：利用公式或其他相应变形公式求解.,(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA＝或其他相应变形公式求解.(3)已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解

7、.(4)灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理.(1)(2019·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sinB＋sinC)＝(a－c)sinA，则角B的大小为()A．30°B．45°C．60°D．120°(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则s