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时间:2019-11-14
《2020版高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第6讲 正弦定理和余弦定理讲义 理(含解析)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第6讲 正弦定理和余弦定理1.正弦定理、余弦定理在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则2.在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况3.三角形中常用的面积公式(1)S=ah(h表示边a上的高).(2)S=bcsinA=acsinB=absinC.(3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径).1.概念辨析(1)正弦定理和余弦定理对任意三角形都成立.( )(2)在△ABC中,若sinA>sinB,则A>B.( )(3)在△ABC的六个元素中,已知
2、任意三个元素可求其他元素.( )(4)当b2+c2-a2>0时,三角形ABC为锐角三角形.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.小题热身(1)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=,c=2,cosA=,则b=( )A.B.C.2D.3答案 D解析 由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去),故选D.(2)已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若==,则该三角形的形状是( )A.直角
3、三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形答案 A解析 因为=,由正弦定理得=,所以sin2A=sin2B.由=,可知a≠b,所以A≠B.又A,B∈(0,π),所以2A=180°-2B,即A+B=90°,所以C=90°,于是△ABC是直角三角形.(3)在△ABC中,a=3,b=2,cosC=,则△ABC的面积为________.答案 4解析 ∵cosC=,04、1解析 因为a=4,b=5,c=6,所以cosA===,所以====1.题型 利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形 1.(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=________;(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.答案 (1)1 (2)75°解析 (1)因为sinB=且B∈(0,π),所以B=或B=,又C=,所以B=,A=5、π-B-C=,又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.(2)如图,由正弦定理,得=,∴sinB=.又c>b,∴B=45°,∴A=180°-60°-45°=75°.角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC中,若b=1,c=,A=,则cos5B=( )A.-B.C.或-1D.-或0(2)在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为( )A.B.C.D.3答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b=1,c=,A=,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=1+3-2×1××6、=1,所以a=1.由a=b=1,得B=A=,所以cos5B=cos=-cos=-.(2)由题意得cosA===,∴sinA==,∴边AC上的高h=ABsinA=.角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若c=,角B的平分线BD=,求a.解 (1)∵2acosC-c=2b,由正弦定理得2sinAcosC-sinC=2sinB,2sinAcosC-sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2co7、sAsinC,∴-sinC=2cosAsinC,∵sinC≠0,∴cosA=-,又A∈(0,π),∴A=.(2)在△ABD中,由正弦定理得,=,∴sin∠ADB==.又∠ADB∈(0,π),A=,∴∠ADB=,∴∠ABC=,∠ACB=,AC=AB=,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=()2+()2-2××cos=6,∴a=.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角.②用正弦定理求另外两条边.(2)已知两边及其中一边所对的8、角①用正弦定理(适用于优先求角的题)以知a,b,A解三角形为例:a.根据正弦定理,经讨论求B;b.求出B后,由A+B+C=180°,求出C;c.再根据正弦定理=,求出边c.②用余弦定理(适用于优先求边的题)以知a,b,A解三角形为例:列出以边c为元的一元二次方程c2-(2bcosA)c+(b2-a2)=0,根据一元二次方程的解法,求边c,然后应用正弦定理或余弦定理,求出B,C.(3)已知两边和它们的夹角①用余弦定理求第三边.②用余弦定理的变形或正弦定理求
4、1解析 因为a=4,b=5,c=6,所以cosA===,所以====1.题型 利用正、余弦定理解三角形角度1 用正弦定理解三角形 1.(1)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=________;(2)(2017·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,则A=________.答案 (1)1 (2)75°解析 (1)因为sinB=且B∈(0,π),所以B=或B=,又C=,所以B=,A=
5、π-B-C=,又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.(2)如图,由正弦定理,得=,∴sinB=.又c>b,∴B=45°,∴A=180°-60°-45°=75°.角度2 用余弦定理解三角形2.(1)在△ABC中,若b=1,c=,A=,则cos5B=( )A.-B.C.或-1D.-或0(2)在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为( )A.B.C.D.3答案 (1)A (2)B解析 (1)因为b=1,c=,A=,所以由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=1+3-2×1××
6、=1,所以a=1.由a=b=1,得B=A=,所以cos5B=cos=-cos=-.(2)由题意得cosA===,∴sinA==,∴边AC上的高h=ABsinA=.角度3 综合利用正、余弦定理解三角形3.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且2acosC-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若c=,角B的平分线BD=,求a.解 (1)∵2acosC-c=2b,由正弦定理得2sinAcosC-sinC=2sinB,2sinAcosC-sinC=2sin(A+C)=2sinAcosC+2co
7、sAsinC,∴-sinC=2cosAsinC,∵sinC≠0,∴cosA=-,又A∈(0,π),∴A=.(2)在△ABD中,由正弦定理得,=,∴sin∠ADB==.又∠ADB∈(0,π),A=,∴∠ADB=,∴∠ABC=,∠ACB=,AC=AB=,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA=()2+()2-2××cos=6,∴a=.用正弦、余弦定理解三角形的基本题型及解题方法(1)已知两角和一边①用三角形内角和定理求第三个角.②用正弦定理求另外两条边.(2)已知两边及其中一边所对的
8、角①用正弦定理(适用于优先求角的题)以知a,b,A解三角形为例:a.根据正弦定理,经讨论求B;b.求出B后,由A+B+C=180°,求出C;c.再根据正弦定理=,求出边c.②用余弦定理(适用于优先求边的题)以知a,b,A解三角形为例:列出以边c为元的一元二次方程c2-(2bcosA)c+(b2-a2)=0,根据一元二次方程的解法,求边c,然后应用正弦定理或余弦定理,求出B,C.(3)已知两边和它们的夹角①用余弦定理求第三边.②用余弦定理的变形或正弦定理求
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